背包问题-01背包、完全背包、多重背包、恰好装满 python

01背包

有为N件物品，它们的重量w分别是w1,w2,…,wn，它们的价值v分别是v1,v2,…,vn，每件物品数量有且仅有一个，现在给你个承重为M的背包，求背包里装入的物品具有的价值最大总和？
Tips:
第 i 件物品的状态只和前 i-1 件物品的状态有关！
dp[i][j] 表示的是前 i 件物品，放入容量为 j 背包的最大价值。

N = int(input())
M = int(input())
w = list(map(int, input().split()))
v = list(map(int, input().split()))
dp = [[0]*(M+1) for i in range(N+1)]
for i in range(1,N+1):
    for j in range(1,M+1):
        if w[i-1]>j:
            dp[i][j]=dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
print(dp[-1][-1])

优化

N = int(input())
M = int(input())
w = list(map(int, input().split()))
v = list(map(int, input().split()))
dp = [0] * (M + 1)
for i in range(1, N + 1):
    for j in range(M, 0, -1):
        if w[i - 1] <= j:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i - 1]] + v[i - 1])
print(dp[-1])

完全背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 wi，价值是 vi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
Tips:
是否加第 i 件物品取决于前 i 件物品的状态。

N, V = map(int, input().split())
w = []
v = []
for i in range(N):
    vi, wi = map(int, input().split())
    w.append(wi)
    v.append(vi)
dp=[[0]*(V+1) for i in range(N+1)]
for i in range(1,N+1):
    for j in range(1,V+1):
        if w[i-1]<=j:
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i-1]]+v[i-1])
        else:
            dp[i][j]=dp[i-1][j]
print(dp[-1][-1])
# 优化
dp = [0] * (V + 1)
for i in range(1, N + 1):
    for j in range(1, V + 1): # 只有这里不同
        if w[i - 1] <= j:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i - 1]] + v[i - 1])
print(dp[-1])

多重背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 wi，价值是 vi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

N, V = map(int, input().split())
v, w, s = [], [], []
for i in range(N):
    vi, wi, si = map(int, input().split())
    v.append(vi)
    w.append(wi)
    s.append(si)
dp = [0] * (V + 1)
for i in range(1, N + 1):
    for j in range(V, 0, -1):
        for k in range(1, min(s[i - 1], V // w[i - 1]) + 1):
            if k * w[i - 1] <= j:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i - 1]] + k * v[i - 1])
print(dp[-1])

完全背包-恰好装满（完全硬币找零问题）

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi。
求解背包正好装满的情况下，最少能装的物品数量。若不存在，则返回-1。

v= list(map(int,input().split()))
V=int(input())
n=len(v)
dp = [[0]*(V+1) for i in range(n+1)]
for i in range(V+1):
        dp[0][i]=float('inf')
for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,V+1):
                if v[i-1]<=j:
                        dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i-1]]+1)
                else:
                        dp[i][j]=dp[i-1][j]
if dp[-1][-1]==float('inf'):
        print(-1)
else:
        print(dp[-1][-1])

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