牛客(Nowcoder) 又见斐波那契

$Hyperlink$

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15666

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$Description$

给定$f(0)=0,f(1)=1$

$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}+i+i^2+i^3+1$

求$f_n$,答案对$10^9+7$取模

数据范围：$n\le 10^{18}$

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$Solution$

暴力好打吧。。。

50分

#include
#define mod 1000000007
using namespace std;int n,t;
long long f[1000001];
signed main()
{
    f[0]=0;f[1]=1;
    for(register int i=2;i<=1000000;i++) (f[i]=f[i-1]+f[i-2]+1ll*i*i*i%mod+1ll*i*i%mod+i+1ll)%=mod;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",f[n]);
    }
}

其实这道题要是没有$i^3,i^2$限制就是$sb$题了，考虑如何发shit规律

把三次方写出来

p3=1 8 27 64 125 216

做差分

add=7 19 37 61 91

二次差分，得到等差数列
gc3=12 18 24 30

同理把平方写出来
p2=1 4 9 16 25 36

差分直接得到等差数列
gc2=3 5 7 9 11 13

于是
$1=1$

$i=i-1+1$

$gc{2}_i=gc{2}_{i-1}+2$

$p{2}_i=p{2}_{i-1}+gc{2}_{i-1}$

$gc{3}_i=gc{3}_{i-1}+6$

$ad{d}_i=ad{d}_{i-1}+gc{3}_{i-1}$

$p3_i=p3_{i-1}+add_{i-1} $

$f_{i-1}=f_{i-1}$

$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}+p{3}_{i-1}+ad{d}_{i-1}+p{2}_{i-1}+gc{2}_{i-1}+i-1+2$

矩阵转移即可

注意到我们最少从第二项开始转移，所以预处理$i==2$时的各项数组

$1=1$
$i=2$
$gc{2}_i=5$
$gc{3}_i=18$
$ad{d}_i=19$
$p{2}_i=4$
$p{3}_i=8$

后面这两个往后移一位（这样方便转移，否则就要将原递推式进一步拆分）
$f_{i-2}=1$
$f_{i-1}=16$

时间复杂度：$O(T{k}^{3}logn)$

在作者的解法中$k=9$，有些最终结果并非直接得到而是间接转移的$k=6$，但是矩阵会麻烦很多

一些杂七杂八的话：这道题是作者在一站到底的时候刷的第一题，最后一分钟过了，真的刺激。。。。

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$Code$

#include
#include
#define ymw 1000000007
using namespace std;int t;
long long n;
struct node{long long a[9][9];};
const int d[9][9]=
{
	{1,1,2,6,0,0,0,0,2},
	{0,1,0,0,0,0,0,0,1},
	{0,0,1,0,0,1,0,0,1},
	{0,0,0,1,1,0,0,0,0},
	{0,0,0,0,1,0,1,0,1},
	{0,0,0,0,0,1,0,0,1},
	{0,0,0,0,0,0,1,0,1},
	{0,0,0,0,0,0,0,0,1},
	{0,0,0,0,0,0,0,1,1},
};
const int e[9]={1,2,5,18,19,4,8,1,16};
inline node mul(node x,node y)
{
    node z;
    memset(&z,0,sizeof(z));
    for(register int i=0;i<9;i++)
     for(register int j=0;j<9;j++)
      for(register int k=0;k<9;k++)
    z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%ymw)%ymw;
    return z;
}
inline long long ksm(register long long y)
{
    node x,ans;
    memset(&x,0,sizeof(x));
    memset(&ans,0,sizeof(ans));
    for(register int i=0;i<9;i++)
     for(register int j=0;j<9;j++)
      x.a[i][j]=d[i][j];
    for(register int i=0;i<9;i++) ans.a[0][i]=e[i];
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=mul(ans,x);
        x=mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans.a[0][8];
}
signed main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
    	scanf("%lld",&n);
    	if(n==0) putchar(48);
    	else if(n==1) putchar(49);
    	else printf("%lld",ksm(n-2));
    	putchar(10);
    }
}