带权二分图的最优匹配 Kuhn-Munkres算法

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分工问题如下：某公司有工作人员x1,x2,...,xn,他们去做工作y1,y2,...,yn,每人适合做其中的一项或几项工作，每个人做不同的工作的效益不一样，我们需要制定一个分工方案，使公司的总效益最大，这就是所谓最佳分配问题， 它们数学模型如下：

数学模型：
    G是加权完全二分图，V(G)的二分图划分为X，Y；X={x1,...,xn},Y={y1,y2,...yn},w(xiyi)>=0是工作人员xi做yi工作时的效益，求权最大的完备匹配，这种完备匹配称为最佳匹配。
这个问题好象比较的棘手，用穷举法的话举也举死了，效率很低。本节给出一种有效算法，为此，先引入一个定义和一个定理。

定义1   映射l:V(G)->R，满足：任意x∈X,任意y∈Y,成立
l(x)+l(y)>=w(xy),
则称l(v)是二分图G的可行顶标；令
El={xy|xy∈E(G),l(x)+l(y)=w(xy)},
称以El为边集的G之生成子图为相等子图，记为Gl
可行顶标是存在的，例如
l(x)=max w(xy),x∈X;
l(y)=0, y∈Y.

定理1 Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。
证：设M*是Gl的一个完备匹配，因Gl是G的生成子图，故M*也是G的完备匹配。M*中的边之端点集合含G的每个顶点恰一次，所以
W(M*)=Σw(e)=Σl(v) (e∈M*,v∈V(G)).
另一方面，若M是G中任意一个完备匹配，则
W(M)=Σw(e)<=Σl(v) (e∈M,v∈V(G)),
所以
W(M*)>=W(M)，
即M*是最佳匹配，证毕。

定理1告知，欲求二分图的最佳匹配，只需用匈牙利算法求取其相等子图的完备匹配；问题是，当Gl中无完备匹配时怎么办？Kuhn和Munkras给出修改顶标的一个算法，使新的相等子图的最大匹配逐渐扩大，最后出现相等子图的完备匹配。

Kuhn-Munkras算法：
(0) 选定初始的可行顶标l,确定Gl,在Gl中选取一个匹配M。
(1) X中顶皆被M许配，止，M即为最佳匹配；否则，取Gl中未被M许配的顶u,令S={u},T为空。
(2) 若N(S)真包含T，转(3)；若N(S)=T，取
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}(x∈S,y∈T),
l(v)-al,v∈S;
l(v)= l(v)+al,v∈T;
l(v),其它。
l=l,Gl=Gl。
(3) 选N(S)-T中一顶y,若y已被M许配，且yz∈M,则S=S∪{z},T=T∪{y},转(2)；否则，取Gl中一个M的可增广轨P(u,y),令M=M⊙E(P)，转(1)。

上面的算法看得有点莫名，改那个可行顶标怎么改改就好了？还是得看盾例子
例1   已知K5,5的权矩阵为
y1 y2 y3 y4 y5
x1 3 5 5 4 1
x2 2 2 0 2 2
x3 2 4 4 1 0
x4 0 1 1 0 0
x5 1 2 1 3 3

求最佳匹配，其中K5,5的顶划分为X={xi},Y={yi},i=1,2,3,4,5.
解：

(1)取可行顶标l(v)为l(yi)=0,i=1,2,3,4,5；l(x1)=max(3,5,5,4,1}=5,l(x2)=max{2,2,0,2,2}=2,l(x3)=max(2,4,4,1,0}=4,l(x4)=max{0,1,1,0,0}=1,l(x5)=max{1,2,1,3,3}=3.

(2) Gl及其上之匹配见图7.12。
这个图中ο(G-x2)=3,由Tutte定理知无完备匹配。需要修改顶标。

(3) u=x4,得S={x4,x3,x1},T={y3,y2},N(S)=T,于是
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}=1. (x∈S,y∈T)
x1,x2,x3,x4,x5的顶标分别修改成4,2,3,0,3；y1,y2,y3,y4,y5的顶标分别修改成0,1,1,0,0。

(4) 用修改后的顶标l得Gl及其上面的一个完备匹配如图7.13。图中粗实线给出了一个最佳匹配，其最大权是2+4+1+4+3=14。

我们看出：al>0；修改后的顶标仍是可行顶标；Gl中仍含Gl中的匹配M；Gl中至少会出现不属于M的一条边，所以会造成M的逐渐增广。

得到可行顶标后求最大匹配：

书上这部分没讲，实际上是这样的，对于上面这个例子来说，通过Kuhn-Munkres得到了顶标l(x)={4,2,3,0,3},l(y)={0,1,1,0,0},那么，对于所有的l(xi)+l(yj) =w(i,j)，在二分图G设置存在边w(i,j)。再用匈牙利算法求出最大匹配，再把匹配中的每一边的权值加起来就是最后的结果了。

 

#include #include #include // 使用其中的 min 函数 using namespace std; const int MAX = 1024; int n; // X 的大小 int weight [MAX] [MAX]; // X 到 Y 的映射（权重） int lx [MAX], ly [MAX]; // 标号 bool sx [MAX], sy [MAX]; // 是否被搜索过 int match [MAX]; // Y(i) 与 X(match [i]) 匹配 // 初始化权重 void init (int size); // 从 X(u) 寻找增广道路，找到则返回 true bool path (int u); // 参数 maxsum 为 true ，返回最大权匹配，否则最小权匹配 int bestmatch (bool maxsum = true); void init (int size) { // 根据实际情况，添加代码以初始化 n = size; for (int i = 0; i < n; i ++) for (int j = 0; j < n; j ++) scanf ("%d", &weight [i] [j]); } bool path (int u) { sx [u] = true; for (int v = 0; v < n; v ++) if (!sy [v] && lx[u] + ly [v] == weight [u] [v]) { sy [v] = true; if (match [v] == -1 || path (match [v])) { match [v] = u; return true; } } return false; } int bestmatch (bool maxsum) { int i, j; if (!maxsum) { for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; } // 初始化标号 for (i = 0; i < n; i ++) { lx [i] = -0x1FFFFFFF; ly [i] = 0; for (j = 0; j < n; j ++) if (lx [i] < weight [i] [j]) lx [i] = weight [i] [j]; } memset (match, -1, sizeof (match)); for (int u = 0; u < n; u ++) while (1) { memset (sx, 0, sizeof (sx)); memset (sy, 0, sizeof (sy)); if (path (u)) break; // 修改标号 int dx = 0x7FFFFFFF; for (i = 0; i < n; i ++) if (sx [i]) for (j = 0; j < n; j ++) if(!sy [j]) dx = min (lx[i] + ly [j] - weight [i] [j], dx); for (i = 0; i < n; i ++) { if (sx [i]) lx [i] -= dx; if (sy [i]) ly [i] += dx; } } int sum = 0; for (i = 0; i < n; i ++) sum += weight [match [i]] [i]; if (!maxsum) { sum = -sum; for (i = 0; i < n; i ++) for (j = 0; j < n; j ++) weight [i] [j] = -weight [i] [j]; // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原来的值，这里需要将其还原 } return sum; } int main() { int n; scanf ("%d", &n); init (n); int cost = bestmatch (true); printf ("%d ", cost); for (int i = 0; i < n; i ++) { printf ("Y %d -> X %d ", i, match [i]); } return 0; } /* 5 3 4 6 4 9 6 4 5 3 8 7 5 3 4 2 6 3 2 2 5 8 4 5 4 7 //执行bestmatch (true) ，结果为 29 */ /* 5 7 6 4 6 1 4 6 5 7 2 3 5 7 6 8 4 7 8 8 5 2 6 5 6 3 //执行 bestmatch (false) ，结果为 21 */