装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,0≤v≤20000),同时有n个物品(0
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
输入:
箱子的容量v
物品数n
接下来n行,分别表示这n个物品的体积
输出:
箱子剩余空间
输入输出样例
输入:24
6
8
3
12
7
9
7
输出: 0
题解`
1. 使用回溯法计算箱子的最小剩余空间
容量为v的箱子究竟应该装入哪些物品可使得剩余空间最小。显然在n个物品的体积和小于等于v的情况下,剩余空间为v-n个物品的体积和。但在n个物品的体积和大于v的情况下,没有一种可以直接找到问题解的数学方法。无奈之下,只能采用搜索的办法。设
a和s为箱子的体积序列。其中a[i]为箱子i的体积,s[i]为前i个箱子的体积和(1≤i≤n);
best为目前所有的装箱方案中最小的剩余空间。初始时best=v;
确定搜索的几个关键因素:
状态(k,v’):其中k为待装入箱子的物品序号,v’为箱子目前的剩余空间。
目标v’
边界条件(v’-(s[n]-s[k-1]))≥best:即便剩下的物品全部装入箱子(未装物品的体积和为s[n]-s[k-1]),其剩余空间仍不小于best,则放弃当前方案,回溯;
搜索范围:在未装入全部物品的前提下(k≤n),搜索两种可能情况:
l 若剩余空间装得下物品k(v’≥a[k]),则物品k装入箱子,递归计算子状态(k+1,v’-a[k]);
l 物品k不装入箱子,递归计算子状态(k+1,v’);
我们用递归过程search(k,v)描述这一搜索过程:
procedure search(k,v:integer); {从状态(k,v)出发,递归计算最小剩余空间}
begin
if v
if v-(s[n]-s[k-1])>=best {若箱子即便装下全部物品,其剩余空间仍不小于best,则回溯}
then exit;
if k<=n {在未装入全部物品的前提下搜索两种可能情况}
then begin
if v>=a[k] {若剩余空间装得下物品k,则物品k装入箱子,递归计算子状态}
then search(k+1,v-a[k]);
search(k+1,v); {物品k不装入箱子,递归计算子状态}
end;{then}
end;{search}
主程序如下:
读箱子体积v;
读物品个数n;
s[0] ←0; {物品装入前初始化}
for i←1 to n do {输入和计算箱子的体积序列}
begin
读第i个箱子的体积a[i];
s[i]←s[i-1]+a[i];
end;{for}
best←v; {初始时,最小剩余空间为箱子体积}
if s[n]<=v then best←v-s[n] {若所有物品能全部装入箱子,则剩余空间为问题解}
else search(1,v); {否则从物品1出发,递归计算最小剩余空间}
输出最小剩余空间best;
2. 使用动态程序设计方法计算箱子的最小剩余空间
如果按照物品序号依次考虑装箱顺序的话,则问题具有明显的阶段特征。问题是当前阶段的剩余空间最小,并不意味下一阶段的剩余空间也一定最小,即该问题并不具备最优子结构的特征。但如果将装箱的体积作为状态的话,则阶段间的状态转移关系顺其自然,可使得最优化问题变为判定性问题。设状态转移方程
f[i,j]——在前i个物品中选择若干个物品(必须包括物品i)装箱,其体积正好为j的标志。显然f[i,j]=f[i-1,j-box[i]],即物品i装入箱子后的体积正好为j的前提是f[i-1,j-box[i]]=true。初始时,f[0,0]=true(1≤i≤n,box[i]≤j≤v)。
由f[i,j]=f[i-1,j-box[i]]可以看出,当前阶段的状态转移方程仅与上一阶段的状态转移方程攸关。因此设f0为i-1阶段的状态转移方程,f1为i阶段的状态转移方程,这样可以将二维数组简化成一维数组。我们按照下述方法计算状态转移方程f1:
fillchar(f0, sizeof(f0),0); {装箱前,状态转移方程初始化}
f0[0]←true;
for i←1 to n do {阶段i:按照物品数递增的顺序考虑装箱情况}
begin
f1←f0; {i阶段的状态转移方程初始化}
for j←box[i] to v do {状态j:枚举所有可能的装箱体积}
if f0[j-box[i]] then f1[j]←true;{若物品i装入箱子后的体积正好为j,则物品i装入箱子}
f0←f1; {记下当前装箱情况}
end;{for}
经过上述运算,最优化问题转化为判定性问题。再借用动态程序设计的思想,计算装箱的最大体积 k=。显然最小剩余空间为v-k:
for i←v downto 0 do {按照递减顺序枚举所有可能的体积}
if f1[i] then begin {若箱子能装入体积为i的物品,则输出剩余空间v-i,并退出程序}
writeln(v-i); halt
end;{then}
end.{for}
writeln(v); {在未装入一个物品的情况下输出箱子体积}
装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,0≤v≤20000),同时有n个物品(0
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
输入:
箱子的容量v
物品数n
接下来n行,分别表示这n个物品的体积
输出:
箱子剩余空间
输入输出样例
输入:24
6
8
3
12
7
9
7
输出: 0
题解`
1. 使用回溯法计算箱子的最小剩余空间
容量为v的箱子究竟应该装入哪些物品可使得剩余空间最小。显然在n个物品的体积和小于等于v的情况下,剩余空间为v-n个物品的体积和。但在n个物品的体积和大于v的情况下,没有一种可以直接找到问题解的数学方法。无奈之下,只能采用搜索的办法。设
a和s为箱子的体积序列。其中a[i]为箱子i的体积,s[i]为前i个箱子的体积和(1≤i≤n);
best为目前所有的装箱方案中最小的剩余空间。初始时best=v;
确定搜索的几个关键因素:
状态(k,v’):其中k为待装入箱子的物品序号,v’为箱子目前的剩余空间。
目标v’
边界条件(v’-(s[n]-s[k-1]))≥best:即便剩下的物品全部装入箱子(未装物品的体积和为s[n]-s[k-1]),其剩余空间仍不小于best,则放弃当前方案,回溯;
搜索范围:在未装入全部物品的前提下(k≤n),搜索两种可能情况:
l 若剩余空间装得下物品k(v’≥a[k]),则物品k装入箱子,递归计算子状态(k+1,v’-a[k]);
l 物品k不装入箱子,递归计算子状态(k+1,v’);
我们用递归过程search(k,v)描述这一搜索过程:
procedure search(k,v:integer); {从状态(k,v)出发,递归计算最小剩余空间}
begin
if v
if v-(s[n]-s[k-1])>=best {若箱子即便装下全部物品,其剩余空间仍不小于best,则回溯}
then exit;
if k<=n {在未装入全部物品的前提下搜索两种可能情况}
then begin
if v>=a[k] {若剩余空间装得下物品k,则物品k装入箱子,递归计算子状态}
then search(k+1,v-a[k]);
search(k+1,v); {物品k不装入箱子,递归计算子状态}
end;{then}
end;{search}
主程序如下:
读箱子体积v;
读物品个数n;
s[0] ←0; {物品装入前初始化}
for i←1 to n do {输入和计算箱子的体积序列}
begin
读第i个箱子的体积a[i];
s[i]←s[i-1]+a[i];
end;{for}
best←v; {初始时,最小剩余空间为箱子体积}
if s[n]<=v then best←v-s[n] {若所有物品能全部装入箱子,则剩余空间为问题解}
else search(1,v); {否则从物品1出发,递归计算最小剩余空间}
输出最小剩余空间best;
2. 使用动态程序设计方法计算箱子的最小剩余空间
如果按照物品序号依次考虑装箱顺序的话,则问题具有明显的阶段特征。问题是当前阶段的剩余空间最小,并不意味下一阶段的剩余空间也一定最小,即该问题并不具备最优子结构的特征。但如果将装箱的体积作为状态的话,则阶段间的状态转移关系顺其自然,可使得最优化问题变为判定性问题。设状态转移方程
f[i,j]——在前i个物品中选择若干个物品(必须包括物品i)装箱,其体积正好为j的标志。显然f[i,j]=f[i-1,j-box[i]],即物品i装入箱子后的体积正好为j的前提是f[i-1,j-box[i]]=true。初始时,f[0,0]=true(1≤i≤n,box[i]≤j≤v)。
由f[i,j]=f[i-1,j-box[i]]可以看出,当前阶段的状态转移方程仅与上一阶段的状态转移方程攸关。因此设f0为i-1阶段的状态转移方程,f1为i阶段的状态转移方程,这样可以将二维数组简化成一维数组。我们按照下述方法计算状态转移方程f1:
fillchar(f0, sizeof(f0),0); {装箱前,状态转移方程初始化}
f0[0]←true;
for i←1 to n do {阶段i:按照物品数递增的顺序考虑装箱情况}
begin
f1←f0; {i阶段的状态转移方程初始化}
for j←box[i] to v do {状态j:枚举所有可能的装箱体积}
if f0[j-box[i]] then f1[j]←true;{若物品i装入箱子后的体积正好为j,则物品i装入箱子}
f0←f1; {记下当前装箱情况}
end;{for}
经过上述运算,最优化问题转化为判定性问题。再借用动态程序设计的思想,计算装箱的最大体积 k=。显然最小剩余空间为v-k:
for i←v downto 0 do {按照递减顺序枚举所有可能的体积}
if f1[i] then begin {若箱子能装入体积为i的物品,则输出剩余空间v-i,并退出程序}
writeln(v-i); halt
end;{then}
end.{for}
writeln(v); {在未装入一个物品的情况下输出箱子体积}