线性规划对偶问题之通俗解释

线性规划对偶问题，看似简单，真正理解并不容易! 本质上，对偶问题围绕着”采购“和”销售"两个相反的业务展开的。

一、产品销售

水果店出售两种水果拼盘，构成如下：

原料	拼盘A	拼盘B	原料库存
苹果	5	4	1000
橘子	3	8	2000
托盘	1	1	500
拼盘售价	100	200

如何在当前库存和产品售价条件下，合理制定两种拼盘的生产数量，实现销售金额最大化？模型如下：
$$\begin{gathered} maxz=100x_1+200x_2 \\ s.t.\{\begin{array}{l}5x_1+4x_2\le 1000\\ 3x_1+8x_2\le 2000\\ x_1+x_2\le 500\end{array}\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

二、资源采购

假设水果店把产品卖出去后，忽然后悔了，想以原料形式回收卖出去的产品，恢复原有库存。这个时候你得好好琢磨一下如何制定原料的采购价格，让你的采购成本最少。模型如下：
$$\begin{gathered} minz=1000y_1+2000y_2+500y_3 \\ s.t.\{\begin{array}{l}5y_1+3y_2+y3\ge 100\\ 4y1+8y_2+y_3\ge 200\end{array}\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
后面的约束条件，道理很简单，如果原料组合成两种拼盘的话，采购价钱不能低于拼盘的价钱，否则客户不会同意你回购的。

实际上，这个对偶问题是一个资源采购的问题，这个资源是广义的，包括物资、人力、设备、场地等。企业A向企业B采购资源，只有出售资源的收益不低于出售完全依赖这些资源构成的产品所带来的收益，企业B才会出售这些资源。

三、对偶问题的用途

简单说一下， 观察(1)、(2)，显然线性规划(2)求解更简单。OK，其他好处自己去看书吧！

四、另一种角度

问题还可以反过来考虑，如果你是出售资源的企业，如何制定销售价格才能实现销售金额最大化呢？模型如下：
$$\begin{gathered} maxz=1000y_1+2000y_2+500y_3 \\ s.t.\{\begin{array}{l}5y_1+3y_2+y3\le 100\\ 4y1+8y_2+y_3\le 200\end{array}\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
约束条件要求，如果资源组合成产品，其价格不得超过产品的价格，否则，生产厂家不会购买的。

其对偶问题如下：

$$\begin{gathered} minz=100x_1+200x_2 \\ s.t.\{\begin{array}{l}5x_1+4x_2\ge 1000\\ 3x_1+8x_2\ge 2000\\ x_1+x_2\ge 500\end{array}\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
其含义是：如果我购买拼盘成品拆解成资源，需要合理确定采购数量，使得采购金额最低，同时满足采购库存量的需要。

这个问题并非杜撰，比如，下料问题就是从一个成品切割拆解成多个产出品的过程。废旧汽车的拆解等也是类似的过程。

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