各种各样的分布函数-卡方分布
函数形式
前面也提到过,其实 χ 2 ( n ) 分 布 , 就 是 Γ 分 布 的 一 种 特 殊 形 式 \chi^2(n)分布,就是\Gamma分布的一种特殊形式 χ2(n)分布,就是Γ分布的一种特殊形式
其中 α = n / 2 , β = 1 / 2 \alpha = n/2,\beta = 1/2 α=n/2,β=1/2
f ( x ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − 1 2 x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2^{\frac n2}\Gamma(\frac n2)}x^{\frac n2-1}e^{-\frac 12 x},&x>0\\ &0,&x\leq 0 \end{aligned} \right. f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧22nΓ(2n)1x2n−1e−21x,0,x>0x≤0
定义 如果随机变脸 X i 之 间 相 互 独 立 且 服 从 N ( 0 , 1 ) , 分 布 , 则 称 随 机 变 量 X_i之间相互独立且服从N(0,1),分布,则称随机变量 Xi之间相互独立且服从N(0,1),分布,则称随机变量
χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + . . . + X n 2 \chi^2=X_1^2+X_2^2+...+X_n^2 χ2=X12+X22+...+Xn2 服从自由度为 n 的 χ 2 分 布 记 为 χ 2 n的\chi^2分布记为\chi^2 n的χ2分布记为χ2~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)
准备定理
(1) 设总体 X X X~ N ( μ , σ 2 ) , ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) 是 总 体 容 量 为 n 的 样 本 , A = ( a i j ) 是 p × n 阶 矩 阵 。 N(\mu,\sigma^2),(X_1,X_2,...,X_n)是总体容量为n的样本,A=(a_{ij})是p\times n阶矩阵。 N(μ,σ2),(X1,X2,...,Xn)是总体容量为n的样本,A=(aij)是p×n阶矩阵。
记 Y = ( Y 1 , Y 2 , . . . , Y p ) T = A ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) T 记Y=(Y_1,Y_2,...,Y_p)^T=A(X_1,X_2,...,X_n)^T 记Y=(Y1,Y2,...,Yp)T=A(X1,X2,...,Xn)T
则 E ( Y i ) = μ Σ j = 1 n a i j , D ( Y i ) = σ 2 Σ j = 1 n a i j 2 ) , C o v ( Y i , Y j ) = σ 2 Σ k = 1 n a i k a j k E(Y_i)=\mu\Sigma_{j=1}^{n}a_{ij},D(Y_i)=\sigma^2\Sigma_{j=1}^{n}a_{ij}^2),Cov(Y_i,Y_j)=\sigma^2\Sigma_{k=1}^{n}a_{ik}a_{jk} E(Yi)=μΣj=1naij,D(Yi)=σ2Σj=1naij2),Cov(Yi,Yj)=σ2Σk=1naikajk
证明:
Y i = Σ k = 1 n a i k x k , Y j = Σ k = 1 n a j k x k Y_i=\Sigma_{k=1}^{n}a_{ik}x_k,Y_j=\Sigma_{k=1}^{n}a_{jk}x_k Yi=Σk=1naikxk,Yj=Σk=1najkxk
C o v ( Y 1 , Y 2 ) = Σ j = 1 n C o v ( a 1 j x j , Σ k = 1 n a 2 k x k ) = Σ j = 1 n C o v ( a 1 j x j , a 2 j x j ) = Σ j = 1 n a 1 j a 2 j σ 2 Cov(Y_1,Y_2)=\Sigma_{j=1}^{n}Cov(a_{1j}x_j,\Sigma_{k=1}^{n}a_{2k}x_k)=\Sigma_{j=1}^{n}Cov(a_{1j}x_j,a_{2j}x_j)=\Sigma_{j=1}^{n}a_{1j}a_{2j}\sigma^2 Cov(Y1,Y2)=Σj=1nCov(a1jxj,Σk=1na2kxk)=Σj=1nCov(a1jxj,a2jxj)=Σj=1na1ja2jσ2
函数性质
一大堆性质都可以由前面的 Γ 分 布 推 导 出 来 \Gamma分布推导出来 Γ分布推导出来,这里就没啥好说的,说几个重要的。
(抽样分布基本定理)
设 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) 是 来 自 总 体 N ( μ , σ 2 ) 的 一 个 样 本 (X_1,X_2,...,X_n)是来自总体N(\mu,\sigma^2)的一个样本 (X1,X2,...,Xn)是来自总体N(μ,σ2)的一个样本
(1) X ˉ 与 S 2 相 互 独 立 \bar{X}与S^2相互独立 Xˉ与S2相互独立
(2) ( n − 1 ) S 2 σ 2 \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} σ2(n−1)S2~ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2(n-1) χ2(n−1)
证明:
取一个样本 U = ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) U=(X_1,X_2,...,X_n) U=(X1,X2,...,Xn)
然后做一个正交变换
[ Y 1 Y 2 . . . Y n ] = [ 1 n 1 n . . . 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] [ X 1 X 2 . . . X n ] \left[ \begin{matrix} Y_1 \\ Y_2 \\ ...\\ Y_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \frac {1}{\sqrt{n}} & \frac {1}{\sqrt{n}} & ...&\frac {1}{\sqrt{n}} \\ a_{21} & a_{22} & ...&a_{2n} \\ ... & ... & ...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} X_1 \\ X_2 \\ ...\\ X_n \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡Y1Y2...Yn⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡n1a21...an1n1a22...an2............n1a2n...ann⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡X1X2...Xn⎦⎥⎥⎤
所以有 Y 1 = n X ˉ , Y T Y = Σ i = 1 n Y i 2 = Σ i = 1 n X i 2 Y_1=\sqrt n\bar X,Y^TY=\Sigma_{i=1}^{n}Y_i^2=\Sigma_{i=1}^{n}X_i^2 Y1=nXˉ,YTY=Σi=1nYi2=Σi=1nXi2
Σ i = 2 n Y i 2 = Σ i = 1 n X i 2 − n X ˉ 2 = Σ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 = ( n − 1 ) S 2 \Sigma_{i=2}^{n}Y_i^2=\Sigma_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar{X}^2=\Sigma_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=(n-1)S^2 Σi=2nYi2=Σi=1nXi2−nXˉ2=Σi=1n(Xi−Xˉ)2=(n−1)S2(把后面的拆开就可以发现是相等的)
然后 Σ i = 2 n ( Y i σ ) 2 \Sigma_{i=2}^{n}(\frac{Y_i}{\sigma} )^2 Σi=2n(σYi)2~ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2(n-1) χ2(n−1),即有 ( n − 1 ) S 2 σ 2 \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} σ2(n−1)S2 ~ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2(n-1) χ2(n−1)。
然后考虑(1)的证明：
L = ( 2 π σ ) − n e − 1 2 σ 2 Σ i = 1 n ( X i − μ ) 2 = ( 2 π σ ) − n e − 1 2 σ 2 Σ i = 1 n X i 2 − 2 n μ X ˉ + n μ 2 = ( 2 π σ ) − n e − 1 2 σ 2 Σ i = 1 n Y i 2 − 2 n μ Y 1 + n μ 2 = ( 2 π σ ) − 1 e − 1 2 σ 2 ( Y 1 − n μ ) 2 × ( 2 π σ ) − 1 e − 1 2 σ 2 Y 2 2 × . . . × ( 2 π σ ) − 1 e − 1 2 σ 2 Y n 2 \begin{aligned} L&=(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-n}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\Sigma_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}\\ &=(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-n}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\Sigma_{i=1}^{n}X_i^2-2n\mu \bar X+n\mu^2}\\ &=(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-n}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\Sigma_{i=1}^{n}Y_i^2-2\sqrt n\mu Y_1+n\mu^2}\\ &=(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(Y_1-\sqrt n\mu)^2}\times(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}Y_2^2}\times...\times(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}Y_n^2} \end{aligned} L=(2πσ)−ne−2σ21Σi=1n(Xi−μ)2=(2πσ)−ne−2σ21Σi=1nXi2−2nμXˉ+nμ2=(2πσ)−ne−2σ21Σi=1nYi2−2nμY1+nμ2=(2πσ)−1e−2σ21(Y1−nμ)2×(2πσ)−1e−2σ21Y22×...×(2πσ)−1e−2σ21Yn2
L L L可以看作 Y 1 , Y 2 , . . . , Y n Y_1,Y_2,...,Y_n Y1,Y2,...,Yn的联合密度函数,则 Y 1 , Y 2 , . . . , Y n Y_1,Y_2,...,Y_n Y1,Y2,...,Yn之间相互独立
且有 Y 1 Y_1 Y1~ N ( n μ , σ 2 ) N(\sqrt n\mu,\sigma^2) N(nμ,σ2), Y 2 Y_2 Y2~ N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^2) N(0,σ2),…, Y n Y_n Yn~ N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^2) N(0,σ2)
又 X ˉ = Y 1 / n , S 2 = Σ i = 2 n Y i 2 / ( n − 1 ) \bar X = Y_1/\sqrt n,S^2=\Sigma_{i=2}^{n}Y_i^2/(n-1) Xˉ=Y1/n,S2=Σi=2nYi2/(n−1),显然 X ˉ , S 2 \bar X, S^2 Xˉ,S2相互独立