第五次任务之三大抽样分布

转载处：https://www.cnblogs.com/Belter/p/8280492.html

目录

• 分位点/分位数(Fractile)
• 卡方分布（${\chi }^2$）
• t分布
• F分布
• 三大抽样分布之间的联系

抽样分布就是统计量的分布，统计量包括均值、方差、比例，分布包括正态分布（样本容量n>30）、t分布（样本容量n<30）、卡方分布、F分布。下面从分位数、定义、性质和函数图像来介绍三大分布—卡方分布、t分布、F分布。

分位点/分位数(Fractile)

分位数是一个非常重要的概念，首先要明确的一点是分位数分的是面积。更准确的是，分位数分的是某个特定分布的概率密度函数曲线下的面积，每给定一个分位数，概率密度函数就会被该分位数一分为二。
在英语中，表示分位数的有两个词，区别如下：

As nouns the difference between fractile and quantile is that fractile is (statistics) the value of a distribution for which some fraction of the sample lies below while quantile is (statistics) one of the class of values of a variate which divides the members of a batch or sample into equal-sized subgroups of adjacent values or a probability distribution into distributions of equal probability.

来自https://wikidiff.com/fractile/quantile

四分位数（Quartiles）

四分位数是统计学里用的比较多的概念，属于quantile的一种，四分位数就是将一组数据按照从小到大排序后，均分为四部分的三个位置。

• 第一四分位数 (Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
• 第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
• 第三四分位数 (Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
• 第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range,IQR）。
  确定四分位数的位置：
  Q1的位置= (n+1) × 0.25
  Q2的位置= (n+1) × 0.5
  Q3的位置= (n+1) × 0.75
  n表示项数
  举个小栗子:一组数据：1,2,3,4,5,6，先求第二四分位数Q2，如果数据个数n为奇数，取中间的那个数n+1/2，公式：如果数据个数n为偶数，取中间的两个数除以2，公式：n/2;然后求第一四分位数，(6+1)/4=1.75，Q1=10.25+20.75=1.75,；最后求第三四分位数，(6+1)×0.75=5.25，Q3=50.75+60.25=5.25

卡方分布（${\chi }^2$）

卡方分布是由服从标准正态分布的随机变量的平方和组成的

• 定义
  设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立，都服从N(0,1)，则称，$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$服从自由度为n的${\chi }^2$分布，记为${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$。
• 性质
  设${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，则
• $E({\chi }^2)=n$，$D({\chi }^2)=2n$
• ${\chi }^2$的可加性：$Y_1\sim {\chi }^2(n_1)$，$Y_2\sim {\chi }^2(n_2)$，且$Y_1$与$Y_2$相互独立，则$Y_1+Y_2\sim {\chi }^2(n_1+(n_2)$，该性质可推广到有限个随机变量的情形，设$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n$相互独立，$Y_i\sim {\chi }^2(n_i)$，${\sum }_{i=1}^m{Y}_i={\chi }^2({\sum }_{i=1}^m{n}_i)$。
• 函数图像
  卡方分布的概率密度曲线如下：
  密度函数的支撑集 (即使密度函数为正的自变量的集合) 为(0, +∞), 从上图可见当自由度 n 越大, 的密度曲线越趋于对称, n 越小, 曲线越不对称. 当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0. 当 n ≥ 3时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下降趋向于 0。

t分布

t分布的推导最早由大地测量学家Friedrich Robert Helmert于1876年提出，并由数学家Lüroth证明。英国人威廉·戈塞(Willam S. Gosset)于1908年再次发现并发表了t分布，当时他还在爱尔兰都柏林的吉尼斯(Guinness)啤酒酿酒厂工作。酒厂虽然禁止员工发表一切与酿酒研究有关的成果，但允许他在不提到酿酒的前提下，以笔名发表t分布的发现，所以论文使用了“学生”(Student)这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪(Sir Ronald Aylmer Fisher)发扬光大，为了感谢戈塞的功劳，费雪将此分布命名为学生t分布(Student's t)。

当样本容量较小，n<30时，用t统计量

• 定义
  设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，且X和Y相互独立，则称随机变量$T=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$服从自由度n的t分布，记为$T\sim t(n)$。当n=1时，就是柯西分布。
• 性质
  设$T\sim t(n)$，则
• 当n>1时，E(T)=0，当n=1时，期望不存在（参考柯西分布的期望，link）
• 当n>2时，D(T)=$\frac{n}{n-2}$，当$n\le 2$时，方差不存在
• 函数图像
  
  从图6中可以看到，t(1)与标准正态分布之间的差别还是比较大的，但是当自由度n趋近于无穷大时，t分布与标准正态分布没有差别（公式上的形式将变得完全相同，这里没有列出概率密度函数的公式）。较大的区别在于，当自由度n较小时，t分布比标准正态分布的尾部更宽（fatter tails），因此也比正态分布更慢的趋近于0。关于这两类分布的异同将会在后面的假设检验部分详细阐述。

F分布

F分布是由两个卡方分布组成

• 定义
  设$X\sim {\chi }^2(n_1)$，$Y\sim {\chi }^2(n_1)$，且X与Y相互独立，则称随机变量$F=\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}$服从自由度为($n_1$,$n_2$)的F分布，记为$$F\sim F(n_1,n_2)$$其中，$n_1$为第一自由度，$n_2$为第二自由度。
• 性质
  设$F\sim F(n_1,n_2)$，则
• 函数图像

三大抽样分布之间的联系

可以展示这三大抽样分布于标准正态分布的联系，以及它们自身之间的联系：
X,Y,Z相互独立，且都服从N(0,1)分布，那么：

• $X^2+Y^2+Z^2\sim {\chi }^2(3)$
• $\frac{X}{\sqrt{(X^2+Z^2)/2}}\sim t(2)$
• $\frac{2X^2}{Y^2+Z^2}\sim F(1,2)$
• 若$t\sim t(n)$，$t^2\sim F(1,n)$
  从图9可以看到，t分布和标准正态分布都是左右对称的，偏度为0（偏度为0也可能不对称），但是卡方分布和F分布都不对称，呈正偏态（右侧的尾部更长，分布的主体集中在左侧）。

也可参考：https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201