虚数填补了数学的哪一个缺口？
讲讲复数的故事。
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复数是人类数域扩充的一大步，如我一样的学渣恨它(太难了)，大佬爱它(太美了)。大概从大一高等代数与它相遇开始，这个让数学爱好者又爱又恨的东西便产生了。
一、复数诞生——代数学家的记号
我猜想复数的引入是一些代数学家干的，当他们在求解方程x^2+1=0时，创造性的假设有±i两个根，开始引入了复数。
而且显然，i和1是R-线性无关的(就是说没有两个非零实数a、b能满足a+bi=0)，于是自然而然的张成了一个二维R-线性空间，被记作C。(自然，高中课本更愿意把z∈C看做a+bi也正基于此——二维向量嘛)
随后他们很快就定义了一套加减法出来，也就像是高中课本所说的那样。
二、欧拉公式——欧拉的技巧
上过高数的一定忘不了泰勒公式，作为实函数微分学的最高成就，给多少学生留下了心理阴影。
泰勒展开
这个时候，大数学家欧拉来了。欧拉是个天才，天赋应当说除了伽罗瓦以外数学家里应该是在第一梯队的。当然他也有很多“混”出来的结论，比如说那个著名的π^2/6。在复变领域，他依旧有很敏锐的洞察力——他看到上面exp、sin、cos项泰勒展开都有一样的系数——除了正负号以外。于是他引入了虚数，带进去，诶，成立了！
欧拉的技巧
当然把x=π带进去就是幼儿园小朋友都知道的e^(iπ)+1=0这条烂大街的公式了。
欧拉公式在物理系被经常使用，一般是以傅里叶的形式出现——这个记号大大简化了傅里叶的形式、体现了傅里叶的性质(评论区大佬提出：主要体现在能够很好的描述相位)。
三、复分析——分析学的美丽乐章
不同于我们物理系的选手，隔壁数学系的人总是要“浪费”大量时间纠结在定义上。Taylor展开固然美丽，但需要可导这些条件——等等，复空间上exp、cos、sin都没定义，哪来的可导性质？
数学家开始研究复变函数的严格定义。首先复空间上的度量是很好定义的，就按二维欧氏空间来就好了(就是高中的模长)。由此函数的极限就可以定义了，自然，级数、导数的东西也有了。
多项式函数本就是可以定义的，于是数学家干了个事情——把结论当成定义推广(这是数学发展贯穿始终的一个手法，随处可见)——用泰勒级数去定义了exp、sin、cos之流的东西。
此外还有一个描述解析性质充要条件的柯西黎曼方程，连起了数分和复分析，将实函数的结论带入复分析中。
柯西黎曼方程
如果说数学分析最深刻的两个公式是泰勒公式和牛顿-莱布尼茨-格林-高斯-斯托克斯公式，一个标志着微分学的巅峰，一个标志着积分学的巅峰，复分析最深刻的我猜想是下面的两个公式。
柯西积分公式
洛朗级数
可以看到复分析的高阶导数，其实是用积分定义的，这跟实的完全不一样，至于洛朗级数——泰勒的推广，非常深刻。
柯西积分公式也有很多导出结论，比较著名的最小模定理、刘维尔定理、留数定理等等。
我们不妨说一下刘维尔定理：一个全纯函数如果(绝对值)有界必然是常函数，柯西积分公式反证法一步出答案(证明留作习题答案略)，作者凭借这个史上最短证明一举拿下博士学位——他的博士导师是欧姆，没错，电阻那个欧姆定律的欧姆。
四、代数闭域——代数学家的喜讯
代数学基本定理，这个高中生人尽皆知的、也是高斯一生(高斯自认为)最伟大的贡献——一个一元n次复多项式在复平面内有n个根就可以来自这里(虽然高斯本人最早的证法远不如用复分析证明的简洁)。
用复分析工具(刘维尔定理)变得异常简洁：
代数学基本定理的简要证明：n次多项式只要有一个根，数学归纳即可证明
一般叫基本定理的都很深刻，比如说算数基本定理、微积分基本定理之类的，代数基本定理告诉大家——复数是代数闭域！
有了代数闭域，代数学家就能搞事情了，比如线性代数里折磨每一个大一新生的Jordan标准型。
若尔当标准型
后面若尔当标准型还将在矩阵函数、常微分方程里反复出现，成为学渣心里挥之不去的痛。
五、黎曼猜想——菲尔茨奖在向你招手
还有些人接着在做分析，比如引入了解析延拓什么的。其中最著名的莫过于黎曼猜想。
黎曼函数
如果你能证明上面这个黎曼函数的所有非平凡零点(就是不包括负偶数的零点)实部都是1/2，你将获得菲尔兹奖——菲尔茨奖在向你招手！
据说这个东西跟数论什么的都有联系(评论区大佬说与素数分布有关)，在数学界有很重要的地位。具体我就不太懂了，坐等相关领域大佬补充。
说了一大堆，总结一下，复数引入
实现了一个代数闭域，在代数学有至关重要的地位
为傅里叶分析提供了工具，简化了记号，能更好的描述相位，除了物理系，据说cs、ee那里数字图像处理也用这个
产生了黎曼猜想，为你提供了一个获得菲尔茨奖的选项
(带个私货)在我们物理系学相对论的人眼里还提供了一个时空的描述工具
当然还有很多很多……
最后补充一下复数的不好，站在学渣的角度。
可用的不等式太少，除了三角不等式几乎啥也没有，不如实的有那么多工具
于是复数域上的线性代数比实数域的难好多好多
复数不仅没有很好的序，而且复变函数也不像实函数容易想象——上来就是四维谁受得了，还是两个两个维度捆绑的。
所以复空间的几何也有很多待解之谜
总之从实的到复的难度上去了不是一个层次，挂科更容易了嘤嘤嘤
ps1：复分析还有很多好玩的东西，比如很几何直观的共形映射什么的，这里都没有提及，有兴趣的读者可以在自学完高数以后买本复分析的书读读。
ps2：复分析学了一年多了也没怎么用过，不少都忘了，欢迎大佬斧正
编辑 ∑Gemini
作者：萌萌哒小西瓜
来源：授权转载于知乎
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