正态分布及抽样分布

参考：http://jpkc.hnu.cn/fxhx/html/book/upload_book/n16/200409021700/1anal mass/1.5.2.htm

正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率分布的一种。人们把均值为μ、标准偏差为σ的正态分布记作N（μ，σ）。其公式如下所示：

其图形如下

 

​

​x是从此分布中随机抽取的样本值，自然对数的底=2.71828，μ是相应于正态分布密度曲线最高点的横坐标，称为正态分布的均值。σ是正态分布的标准偏差，代表从总体均值μ到正态分布曲线两个拐点中任何一个的距离，它表示样本值的离散特性。

对于任何正态分布，它的样本值x落在区间( a ,b )的概率P(a≤x≤b)，等于在横坐标上x=a,x=b区间的曲线和横坐标之间所夹的面积，即：​

由于这个积分的计算同μ和σ值有关，计算起来比较麻烦，为了简便起见，常经过一个 变换式，令

(这个公式实际是将N（μ，σ）中x坐标化成N(0,1)中的x坐标值)

        变换后变成了

      于是均值为μ，标准偏差为σ的正态概率密度函数便变成均值为0，标准偏差为1的标准正态概率密度函数，记为N(0，1)。下图是表示标准正态分布曲线

此时中轴对应的坐标恰好为0

​ 这时对于任何正态分布，样本值ｘ落在区间( a ,b )的概率Ｐ（a≤x≤b），相应地可由标准正态分布算出。

 

      为了应用方便将标准正态分布制成表，由于积分上下限不同，表的形式有很多，为了区别，在表的上方一般绘图说明表中所列值是什么区间的概率。下表是这些形式的表中的一种，表中列出的面积与阴影部分相对应，表示随机误差在此区间的概率，若是求±u值区间的概率，由于是峰形是对称的，必须乘以2。

    抽样分布   

统计量的分布称为抽样分布，在使用统计量进行推断时常需要知道其分布，当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的。以下是来自正态总体的几个常用统计量的分布。（以下内容是课本上的浙江大学概率论与数理统计）

注意图中a的含义，是表示右侧的面积

​     这里的a和显著性水平的a有相似之处，都是表示外侧的面积，只不过正态分布表中和卡方分布表的查法不一样。

查卡方分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率0.05这一列，行列的交叉处即是14.1。

 t分布表查法：例如，当样本数量n=5时，则自由度v=5，我们就可以查找表中以5开头的行。该行第5列值为2.132，对应的单侧值为95%（双侧值为90%）。这也就是说，T小于2.132的概率为95%（即单侧），记为Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95；同时，T值介于-2.132和2.132之间的概率为90%（即双侧），记为Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9。

​卡方分布和f分布表查法一样，正态分布和t分布查法一样，对称图形和不对成图形表查法完全相反。