hdu 4465

计算组合数最大的困难在于数据的溢出，对于大于150的整数n求阶乘很容易超出double类型的范围，那么当C(n,m)中的n=200时，直接用组合公式计算基本就无望了。另外一个难点就是效率。

    对于第一个数据溢出的问题，可以这样解决。因为组合数公式为：
    C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)

    为了避免直接计算n的阶乘，对公式两边取对数，于是得到：
    ln(C(n,m)) = ln(n!)-ln(m!)-ln((n-m)!)

    进一步化简得到：

   

    这样我们就把连乘转换为了连加，因为ln(n)总是很小的，所以上式很难出现数据溢出。

    为了解决第二个效率的问题，我们对上式再做一步化简。上式已经把连乘法变成了求和的线性运算，也就是说，上式已经极大地简化了计算的复杂度，但是还可以进一步优化。从上式中，我们很容易看出右边的3项必然存在重复的部分。现在我们把右边第一项拆成两部分：

   

    这样，上式右边第一项就可以被抵消掉，于是得到：

   

    上式直接减少了2m次对数计算及求和运算。但是这个公式还可以优化。对于上面公式里的求和，当mn/2时，n-m就会小很多。我们知道：
    C(n,m) = C(n,n-m)

    那么通过这个公式，我们可以把小于n/2的m变为大于n/2的n-m再进行计算，结果是一样的，但是却能减少计算量。

    当计算出ln(C(n,m))后，只需要取自然对数，就可以得到组合数：
    C(n,m) = exp(ln(C(n,m)))

    这样就完成了组合数的计算。

    用这种方法计算组合数，如果只计算ln(C(n,m))的话，n可以取到整型数据的极限值65535，

#include 
#include 
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#include 
using namespace std;
double f[400008];
double C_m_n(int m,int n)
{

    return f[m]-f[n]-f[m-n];
}
int main()
{
     f[0]=0;
    for(int i=1;i<=400006;i++)
    f[i]+=f[i-1]+log(i*1.0);
   double sum,p;
   int n,test=0;
   while(cin>>n>>p)
   {
       sum=0;
       printf("Case %d: ",++test);
       for(int k=0;k<=n-1;k++)
       {
           sum+=(n-k)*(exp((C_m_n(n+k,k))+(n+1)*log(p)+k*log(1-p))+exp((C_m_n(n+k,k))+(n+1)*log(1-p)+k*log(p)));
       }
       printf("%.6f\n",sum);
   }
}