扩展欧几里得算法及其应用
欧几里得算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 证明略去了。
基本代码实现：
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int gcd(int a,int b) |
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{ |
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if(b==0) |
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return a; |
5 |
return |
6 |
gcd(b,a%b); |
7 |
} |
扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。
已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式
。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。
- 47=30*1+17
- 30=17*1+13
- 17=13*1+4
- 13=4*3+1
然后把它们改写成“余数等于”的形式
- 17=47*1+30*(-1) //式1
- 13=30*1+17*(-1) //式2
- 4=17*1+13*(-1) //式3
- 1=13*1+4*(-3)
然后把它们“倒回去”
- 1=13*1+4*(-3) //应用式3
- 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
- 1=13*4+17*(-3) //应用式2
- 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
- 1=30*4+17*(-7) //应用式1
- 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
- 1=30*11+47*(-7)
得解x=-7, y=11。
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
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证明：设 a>b。 |
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推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；//推理1 |
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推理2，ab!=0 时 |
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设 ax1+by1=gcd(a,b); |
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bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); |
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根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); |
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则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; |
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即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; |
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根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;//推理2 |
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这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. |
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上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 |
扩展欧几里德的递归代码：
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#include |
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using namespace std; |
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int exgcd(int a,int b,int & x,int & y){ |
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if(b == 0){ |
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//根据上面的推理1，基本情况 |
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x = 1; |
08 |
y = 0; |
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return a; |
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} |
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int r = exgcd(b, a%b, x, y); |
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//根据推理2 |
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int t = y; |
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y = x - (a/b)*y; |
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x = t; |
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return r; |
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} |
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int main() { |
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int x,y; |
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exgcd(47,30,x,y); |
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cout << "47x+30y=1 的一个整数解为: x=" << x << ", y=" << y << endl; |
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return 0; |
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} |
非递归实现，比上面的看上去要复杂了不少，不熟悉的话直接用上面的就可以：
01 |
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) |
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{ |
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int x1,y1,x0,y0; |
04 |
x0=1; y0=0; |
05 |
x1=0; y1=1; |
06 |
x=0; y=1; |
07 |
int r=m%n; |
08 |
int q=(m-r)/n; |
09 |
while(r) |
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{ |
11 |
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; |
12 |
x0=x1; y0=y1; |
13 |
x1=x; y1=y; |
14 |
m=n; n=r; r=m%n; |
15 |
q=(m-r)/n; |
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} |
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return n; |
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} |
扩展欧几里德算法的应用
（1）求解不定方程
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
这个应该比较好理解了，两个可以同乘以k
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bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) |
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{ |
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int d=exgcd(a,b,x,y); |
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if(c%d) |
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return false; |
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int k=c/d; |
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x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 |
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return true; |
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} |
（2）求解模线性方程（线性同余方程）
同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
1 |
在方程 3x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。 |
2 |
3 |
在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。 |
证明略去，直接说算法：
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14…….
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )
因此解之间的间隔就求出来了.
01 |
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) |
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{ |
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int x,y,x0,i; |
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int d=exgcd(a,n,x,y); |
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if(b%d) |
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return false; |
07 |
x0=x*(b/d)%n; //特解 |
08 |
for(i=1;i |
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printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); |
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return true; |
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} |
（3）求解模的逆元；
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
练习题
青蛙的约会
参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B
http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html