扩展欧几里得算法及其应用

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。 证明略去了。

基本代码实现：

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return
6         gcd(b,a%b);
7 }

 扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是欧几里得算法的扩展。

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

• 47=30*1+17
• 30=17*1+13
• 17=13*1+4
• 13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

• 17=47*1+30*(-1) //式1
• 13=30*1+17*(-1) //式2
• 4=17*1+13*(-1) //式3
• 1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

• 1=13*1+4*(-3) //应用式3
• 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
• 1=13*4+17*(-3) //应用式2
• 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
• 1=30*4+17*(-7) //应用式1
• 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
• 1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

01 证明：设 a>b。
02
03 　　推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；//推理1
04
05 　　推理2，ab!=0 时
06
07 　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
08
09 　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
10
11 　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
12
13 　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
14
15 　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
16
17 　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;//推理2
18
19      这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
20
21 　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

01 #include
02 using namespace std;
03
04 int exgcd(int a,int b,int & x,int & y){
05     if(b == 0){
06         //根据上面的推理1，基本情况
07         x = 1;
08         y = 0;
09         return a;
10     }
11     int r = exgcd(b, a%b, x, y);
12     //根据推理2
13     int t = y;
14     y = x - (a/b)*y;
15     x = t;
16     return r;
17 }
18
19 int main() {
20     int x,y;
21     exgcd(47,30,x,y);
22     cout << "47x+30y=1 的一个整数解为: x=" << x << ", y=" << y << endl;
23     return 0;
24 }

非递归实现，比上面的看上去要复杂了不少，不熟悉的话直接用上面的就可以：

01 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
02 {
03     int x1,y1,x0,y0;
04     x0=1; y0=0;
05     x1=0; y1=1;
06     x=0; y=1;
07     int r=m%n;
08     int q=(m-r)/n;
09     while(r)
10     {
11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
12         x0=x1; y0=y1;
13         x1=x; y1=y;
14         m=n; n=r; r=m%n;
15         q=(m-r)/n;
16     }
17     return n;
18 }

扩展欧几里德算法的应用

（1）求解不定方程

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

这个应该比较好理解了，两个可以同乘以k

1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
2 {
3     int d=exgcd(a,b,x,y);
4     if(c%d)
5         return false;
6     int k=c/d;
7     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
8     return true;
9 }

（2）求解模线性方程（线性同余方程）

同余方程 ax≡b (mod n) (也就是 ax % n = b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b (也就是 b % (gcd(a,n))==0 )。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

1 在方程  3x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。
2
3 在方程 5x ≡ 2 (mod 6) 中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。

证明略去，直接说算法：

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d. (d = gcd(a,n) )

因此解之间的间隔就求出来了.

01 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
02 {
03     int x,y,x0,i;
04     int d=exgcd(a,n,x,y);
05     if(b%d)
06         return false;
07     x0=x*(b/d)%n;   //特解
08     for(i=1;i
09         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
10     return true;
11 }

 （3）求解模的逆元；

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

练习题

青蛙的约会

参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html