谈谈最近公共祖先（LCA）——杨子曰算法

谈谈最近公共祖先（LCA倍增）——杨子曰算法

今天，杨子来曰（yue）一曰（yue）算法——倍增求LCA
LCA是神马呢？
举个例子，我姓杨，你也姓杨，所以我们早在5325年前肯定有一个公共祖先，BUT这个公共祖先的儿子也有可能是我们公共的祖先，对吧？So，肯定在我们的所有公共祖先中，有一个是离我们最近的（也就是说，他的两个儿子分别是我和你的祖先），那么这个祖先就称为，我和你的最近公共祖先，即LCA.
现在，我们把他放在一棵树上就很好理解了，Look at the图：

如图：结点6和结点8的LCA就是2

再看：

如图：结点7和结点9的LCA是结点1

但如果是这样呢？

没错，结点1和结点9的LCA就是结点1，So，杨子曰：如果两个结点是爹和娃的关系，那么它们的LCA就是爹

好了，BB了半天，看出来点什么呢？或者问，我们为什么要研究LCA呢？
来看一看两点间的路径，你可以得到一个结论，杨子曰：树上两点间的路径必定经过他们的LCA
So，杨子再曰：有关两点间路径的问题，立刻想到LCA（也有可能是树链剖分）
呱呱了半天，LCA到底怎么求呢？——三个算法，今天就曰一个——倍增

（可以先看一下：ST表——杨子曰数据结构，有助于理解）

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首先，我们需要一个数组f[i][j],表示结点i的第2^j个父亲是谁，那f怎样更新呢？
首先f数组全附成根节点（原因后面自然就知道了）f[i][0]可以用一次dfs全部求出，然后会发现f[i][j]就等于f[f[i][j-1]][j-1],也就是结点i的第2^ j的父亲就是i的第2^ (j-1)父亲的第2^(j-1)父亲
注意i,j循环的顺序：

for (int j=1;j<=18;j<=++){
	for (int i=1;i<=n;i++){
		f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
	}
}

OK，这个求完了再怎么搞呢？
下面，我们假设要求x,y两个点的LCA

1. 判断两点是否是父子关系
   如果两点是父子关系，那么输出父亲；
   等等等等，举手提问：这怎么判断？
   使用dfs序-时间戳，不知道的人自行百度
   简单的说就是对树dfs的时候记录进入的时间和出来的时间
   判断两个结点的时间戳 是否是包含关系，就可以了
2. 把 j从大到小递减，判断f[x][j]是否是y的祖先
   又有人举起手说，这怎么判断，
   杨子曰：请你看看上面，你是鱼的记忆吗？？
   使用时间戳时间戳时间戳
3. 如果是就继续减小j，否则把结点x调到结点f[x][j]
   如果x第2^ j个祖先也是y的祖先，那么LCA肯定是这个结点，或者是他下面的结点，所以我们减小j，如果突然发现x第2^ j个祖先不是y的祖先，呀呀呀！出大事了，现在我们无法在控制LCA的范围了，所以着急的x赶紧往上跳，调到x第2^j个祖先（下面解释为神马可以这样做）
   4.j减小到0后，f[x][0]就是LCA
   解释下为什么，首先要知道，一个数是可以换成几个不同的2的幂的和的形式：
   如 7=1+2+4 54=2+4+16+32 （←其实就是换成2进制）
   好，既然这样，那我们就可以利用这一特点，对x的祖先经行二分检索（减小j），对于LCA是x的第几个祖先也可以变成这样的形式，所谓x往上跳，就是在处理这些2^j的加数，
   好，既然这样LCA就被完美实现了

总结一波：先dfs求f[i][0]和时间戳，递推求出f[i][j]，对于每个询问单独判断，时间复杂度：O(n log n)

如果你还知道神马是树链剖分的话（不知道，戳我），你就可以用树链剖分求LCA（←它比倍增更快更优）

OK，完事

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c++代码：

#include
using namespace std;

int f[30005][20],tin[30005],tout[30005];
vector<int> a[30005];
int cnt=0;

int inline read(){
	int x=0,w=0;char ch=0; 
	while (ch<'0' || ch>'9') w|=ch=='-',ch=getchar(); 
	while (ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar(); 
	return w? -x:x; 
}

void dfs(int k,int fa){
	f[k][0]=fa;
	tin[k]=++cnt;
	for (int i=0;i<a[k].size();i++){
		int v=a[k][i];
		if (v==fa) continue;
		dfs(v,k);
	}
	tout[k]=cnt;
}

int anc(int x,int y){
	return tin[x]<=tin[y] && tout[y]<=tout[x];
}

int lca(int x,int y){
	if (anc(x,y)) return x;
	if (anc(y,x)) return y;
	for (int i=16;i>=0;i--){
		if (!anc(f[x][i],y)) x=f[x][i];
	}
	return f[x][0];
}

int main(){
	int n=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=read();
		int y=read();
		a[x].push_back(y);
		a[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,1);
	for (int j=1;j<=16;j++){
		for (int i=1;i<=n;i++){
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
		}
	}
	int m;
	m=read();
	while(m--){
		int x,y;
		x=read();
		y=read();
		cout<<lca(x,y)<<"\n";
	} 
	return 0;
}

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