二叉树特性及证明

在二叉树的第 i 层上至多有 2i−1 个结点

特性1:在二叉树的第 i 层上至多有 2i−1 个结点
证明：
设 第 i 层的结点至多为 N, 由上需证明 在二叉树的第 i 层上有 N=2i−1
① i=1时，因为二叉树只有一层时只有一个根结点，故 20 =1 成立
② 假设，当 i =k 时，等式成立，即 N=2k−1 .
那么，当 i =k +1 时，因为第 k+1 层是第 k 层的下一层，故第 k + 1 层的结点最多为 2k−1∗2=2k=2(k+1)−1 , 即 当i = k + 1时， N=2(k+1)−1 成立,
由①, ②可知对一切自然数 i 等式成立

深度为 h 的二叉树, 它的结点至多为 2h−1

特性2:深度为 h 的二叉树, 它的结点至多为 2h−1 (深度即层数)

证明：
设，深度为 h 的二叉树的结点至多为 S(h),需证明等式S(h)= 2h−1 成立
二叉树，每一层都取最大的结点数，由特性1 有：
20+21+22+...+2h−1 = S(h) ①
21+22+23+...+2h = 2S(h) ②
② - ① = 2S(h) - S(h) = S(h) = 2h−20=2h−1 ，即等式S(h)= 2h−1 成立

对任何一颗二叉树，若它含有 n0 个叶子结点， n2 个度(度，即产生分支数目)为2的结点，则必存在关系式: n0=n2+1

特性3:对任何一颗二叉树，若它含有 n0 个叶子结点， n2 个度(度，即产生分支数目)为2的结点，则必存在关系式: n0=n2+1
证明：
设，度为0的结点个数为 n0 , 度为1的结点个数为 n1 , 度为2的结点个数为 n2 , 整个二叉树上结点的数目为 n ，二叉树上分支的数目为 b ,
则有 n0+n1+n2=n ①
除了根结点以外都有一双亲结点(也叫父结点)，有一个双亲,说明有一个分支
分支数目为 b ，因为根结点没有双亲，如下图，只有A结点没有双亲,其他都有双亲

所以 n=b+1 ②
那么分支都是由度不为0的结点产生的，度为0的产生0个分支，度为1的结点产生1个分支，度为2的结点产生2个分支。
因为二叉树的结点数等于分支数+1，故有： n1+2n2+1=n ③
由 ①−③=n0−n2−1=0 即， n0=n2+1

具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1

特性4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1
因为这个特性需要用到两类特殊二叉树的定义，所以先看两类二叉树的定义.

满二叉树：指的是深度为 k 且含有 2k−1 个结点的二叉树。（可参考特性2）
如下图：

完全二叉树： 树中所含的n的结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一 一对应。
满二叉树，完全二叉树，非完全二叉树区别如下图：

特性4 证明：
设完全二叉树的深度为 k ,结点数为 n, 那么由特性2有,
n大于深度为k-1的满二叉树的结点数，且小于等于深度为k的满二叉树的结点数. 即，
2k−1−1<n≤2k−1 或者说：
2k−1≤n<2k ①
对式子①取对数，有 k−1≤log2n<k 因为 log2n 可能为整数,也可能不为整数，但是它是小于k且大于或等于k-1的，故对取 log2n 向下取整，则 k−1=⌊log2n⌋，即k=⌊log2n⌋+1