模数非互质的同余方程组(非互质版中国剩余定理)

之前介绍到的中国剩余定理只能求解模数两两互质的同余方程组。

   那么,模数如果不一定两两互质的情况应该怎么求呢?

   下面介绍通过合并方程的方法来解决问题(要用到扩展欧几里德算法)。

 

   顾名思义,合并方程就是把所有的同余方程组合并成一个。

   举个例子,合并同余方程组  x%A=a  

                              x%B=b       

   现在给出两种合并的方法:

    1)要把①②式合并成    x%C=c   ③

       易知C一定是A和B的最小公倍数的倍数,否则不可能同时满足①②两式。

       这里我们取C为A,B的最小公倍数,设d=gcd(A,B),则C=A*B/d.

       接下来我们只要求出余数c即可,假设p是方程组①②的其中一个解

       因为③是①②两式的合并方程,所以p也是③的解,所以可以得到c=p%C

       接下来的问题就是怎么求出方程组①②的其中一个解。

       首先,满足方程组①的最小解显然就是x=a

       然后满足①②的解就是 (a+kA)%B=b,其中x=a+kA(k为任意自然数)

       这个方程很明显可以用扩展欧几里德算法即可求得x,这样就完成了两个方程的合并

       

       当所有的同余方程合并成一个方程 x%G=g 时候,g即为最终的最小解。。

  

   2)至于第二种方法,请参考http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1266328

      这种方法我也不是太了解,日后会完善。

转载于:https://www.cnblogs.com/onestow/p/4333226.html

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