扩展欧几里德算法求不定方程

　　例题是 POJ 1061 青蛙的约会 

　　题目大意是，一个周长为L的圆， A、B两只青蛙，分别位于 x 、y 处，每次分别能跳跃 m 、n ，问最少多少次能够相遇，如若不能输出 “ Impossible”

　　此题其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。

　　设过 k1 步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　( x + m*k1 ) - ( y + n*k1 ) = k2*L  ( k2 =0 , 1 , 2....)         //这里的k2:   存在一个整数k2, 使其满足上式

　　稍微变一下形得：　　 ( m - n )*k1 - k2*L= y - x 

　　令　 a = m - n , b = -L , c = y - x. 即

　　　　a*k1 + b*k2 = c

　　转换成了线性同余方程，只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。 

　　欧几里德扩展原理 是解决线性同余方程的工具

　　下面我们介绍  欧几里德定理的证明，以及如何推广到扩展欧几里德

 

　　先来看下什么是欧几里德扩展原理：

　　

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：

        令 d = gcd( a, b ) 

        则 d | a  ，d | b    (   x|y 表示  x能够整除y,即 y%x = 0 )

        又 a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 

　　前面已经知道  d | b
    
        又  d | (a%b) => d | r => d | ( a - bk ) 

        => ( d | a ) - ( d | bk )   

        所以 d | (a%b) 

　　因此d是(b,a mod b)的公约数 

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

 

 

 

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：　

1 int Gcd(int a, int b)
2 {
3 　　if(b == 0)    return a;
4          return Gcd(b, a % b);
5 }

 

　　当然你也可以写成迭代形式：

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3 　　while(b != 0)
 4 　　{
 5 　　     int r = b;
 6 　　     b = a % b;
 7 　　     a = r;
 8 　　}
 9 　　return a;
10 }

 

 

 

　　扩展欧几里德算法

 

　　问题： 计算  a*x + b*y = Gcd( a , b )

由 欧几里德定理

　　得: Gcd( a , b ) = Gcd( b , a%b )

　　又  Gcd( b, a%b ) = b*x0 + (a%b) * y0          // 这里( x0, y0 )指 存在一对(x0,y0) 使其满足 等式

　　所以  a*x + b*y = b*x0 + (a%b) * y0  

　　又 a % b = a - (a / b) * b                                      // 注：这里的 (a/b) 是程序设计语言中的除法

　　带入式子得：

　　a*x + b*y = b*x0 + [ a - (a / b) * b ] * y0

　　将式子右边变换下得：

　　a*x + b*y = a*y0 + b*( x0 - (a/b) * y0 ) 

　　根据对称我们可以知道：

　　x = y0 , y = x0 - (a/b) * y0

　　这样我们就得到了求解 x,y 的方法：x，y 的值基于 x0，y0

　　由此，我们可以通过类似  欧几里德定理 循环迭代地 求出 x , y 

　　再考虑下边界条件： 因为 a*x + b*y = Gcd( a, b )   

　　当 b = 0 时， Gcd( a, b ) = a

　　所以 a*x + b*y = a

　　所以 x = 1, y = 0

　　由此，我们知道边界条件为 当 b = 0 时， x = 1, y = 0  

 

　　有上面的推导过程，我们可以得出C++的实现：　　

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)  // 此 &x 表示引用，目的是像 C中 指针那样传递地址，达到修改值的目的
{
　　if(b == 0)
　　{
　　    x = 1;
　　    y = 0;
　　    return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;　　// 因为 x 本身值要被覆盖，之后又要使用，所以定义临时变量来存储信息
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　return r;
}

 

不定方程 a * x + b * y = c 的求解过程：

　　求 a * x + b * y = c 的整数解。

　　　　设 d = Gcd(a,b) , 若 c % d != 0  则不定方程无整数解 , 由数论相关定理可以证明

　　　　由上面的推导,我们知道,我们可以使用 ExGcd： a*x + b*y = Gcd( a, b )   求出一组解 ( x0 , y0 ) 使其满足 a * x0 + b * y0 = Gcd( a, b )

　　　　令  A = a%d , B = b%d, C = c%d  带入原式

　　　　A * x + B * y = C　　                      ------ 等式 1
　　　　因为 Gcd( A, B ) = 1 , 由 扩展GCD 性质得

　　　　A * xi + B * yi = Gcd( A, B ) = 1     ------ 等式2

　　　　我们可以通过 扩展GCD 求出 等式2 的一组解 ( x0, y0 ) 
　　　　使其满足 A * x0 + B * y0  = 1        ------- 等式3
　　　　等式3 两边同乘以 C, 可得
　　　　A * x0 * C+ B * y0 * C = C 　　    ------- 等式4　　
　　　　通过观察,我们可以知道 
　　　　二元组 ( x0*C, y0*C ) 是 等式1 的一组解 使其满足 A*x + B*y = C
　　　　所以 ( x0*C, y0*C ) 是 a*x + b*y = c 的一组解
　　　　

　　　　另,我们将式子1 变形下:

　　　　A * ( x + B )  + B * ( y + A ) = C

　　　　我们可以知道 x , y 解有多组. 但都满足如下关系

　　　　x = x0*C + k * B    ( 其中 k 为整数 )

　　　　y = y0*C + k * A

 　　此时方程的所有解为：x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0，令x=0可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，实际上可能x根本取不到0，那么由计算机的取整除法可知：由 t=c*k1/b算出的t，代回x=c*k1-b*t中，求出的x可能会小于0，此时令t=t+1，求出的x必大于0；如果代回后x仍是大于等于0的，那么不需要再做修正。

 

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