扩展欧几里德算法求不定方程

  例题是 POJ 1061 青蛙的约会 

  题目大意是,一个周长为L的圆, A、B两只青蛙,分别位于 x 、y 处,每次分别能跳跃 m 、n ,问最少多少次能够相遇,如若不能输出 “ Impossible”

  此题其实就是扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程。

  设过 k1 步后两青蛙相遇,则必满足以下等式:

    ( x + m*k1 ) - ( y + n*k1 ) = k2*L  ( k2 =0 , 1 , 2....)         //这里的k2:   存在一个整数k2, 使其满足上式

  稍微变一下形得:   ( m - n )*k1 - k2*L= y - x 

  令  a = m - n , b = -L , c = y - x. 即

    a*k1 + b*k2 = c

  转换成了线性同余方程,只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能。 

  欧几里德扩展原理 是解决线性同余方程的工具

  下面我们介绍  欧几里德定理的证明,以及如何推广到扩展欧几里德

 

  先来看下什么是欧几里德扩展原理:

  

  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

  定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  证明:

        令 d = gcd( a, b ) 

        则 d | a  ,d | b    (   x|y 表示  x能够整除y,即 y%x = 0 )

        又 a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 

  前面已经知道  d | b
    
        又  d | (a%b) => d | r => d | ( a - bk ) 

        => ( d | a ) - ( d | bk )   

        所以 d | (a%b) 

  因此d是(b,a mod b)的公约数 

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

 

 

 

  欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: 

1 int Gcd(int a, int b)
2 {
3   if(b == 0)    return a;
4          return Gcd(b, a % b);
5 }

 

  当然你也可以写成迭代形式:

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3   while(b != 0)
 4   {
 5        int r = b;
 6        b = a % b;
 7        a = r;
 8   }
 9   return a;
10 }

 

 

 

  扩展欧几里德算法

 

  问题: 计算  a*x + b*y = Gcd( a , b )

由 欧几里德定理

  得: Gcd( a , b ) = Gcd( b , a%b )

  又  Gcd( b, a%b ) = b*x0 + (a%b) * y0          // 这里( x0, y0 )指 存在一对(x0,y0) 使其满足 等式

  所以  a*x + b*y = b*x0 + (a%b) * y0  

  又 a % b = a - (a / b) * b                                      // 注:这里的 (a/b) 是程序设计语言中的除法

  带入式子得:

  a*x + b*y = b*x0 + [ a - (a / b) * b ] * y0

  将式子右边变换下得:

  a*x + b*y = a*y0 + b*( x0 - (a/b) * y0 ) 

  根据对称我们可以知道:

  x = y0 , y = x0 - (a/b) * y0

  这样我们就得到了求解 x,y 的方法:x,y 的值基于 x0,y0
  由此,我们可以通过类似  欧几里德定理 循环迭代地 求出 x , y 
  再考虑下边界条件: 因为 a*x + b*y = Gcd( a, b )   当 b = 0 时, Gcd( a, b ) = a   所以 a*x + b*y = a   所以 x = 1, y = 0   由此,我们知道边界条件为 当 b = 0 时, x = 1, y = 0

 

  有上面的推导过程,我们可以得出C++的实现:  

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)  // 此 &x 表示引用,目的是像 C中 指针那样传递地址,达到修改值的目的
{
  if(b == 0)
  {
      x = 1;
      y = 0;
      return a;
  }
  int r = exGcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;  // 因为 x 本身值要被覆盖,之后又要使用,所以定义临时变量来存储信息
  x = y;
  y = t - a / b * y;
  return r;
}

 

不定方程 a * x + b * y = c 的求解过程:

  求 a * x + b * y = c 的整数解。

    设 d = Gcd(a,b) , 若 c % d != 0  则不定方程无整数解 , 由数论相关定理可以证明

    由上面的推导,我们知道,我们可以使用 ExGcd: a*x + b*y = Gcd( a, b )   求出一组解 ( x0 , y0 ) 使其满足 a * x0 + b * y0 = Gcd( a, b )

    令  A = a%d , B = b%d, C = c%d  带入原式

    A * x + B * y = C                        ------ 等式 1
    因为 Gcd( A, B ) = 1 , 由 扩展GCD 性质得

    A * xi + B * yi = Gcd( A, B ) = 1     ------ 等式2

    我们可以通过 扩展GCD 求出 等式2 的一组解 ( x0, y0 ) 
    使其满足 A * x0 + B * y0  = 1        ------- 等式3
    等式3 两边同乘以 C, 可得
    A * x0 * C+ B * y0 * C = C       ------- 等式4  
    通过观察,我们可以知道 
    二元组 ( x0*C, y0*C ) 是 等式1 的一组解 使其满足 A*x + B*y = C
    所以 ( x0*C, y0*C ) 是 a*x + b*y = c 的一组解
    

    另,我们将式子1 变形下:

    A * ( x + B )  + B * ( y + A ) = C

    我们可以知道 x , y 解有多组. 但都满足如下关系

    x = x0*C + k * B    ( 其中 k 为整数 )

    y = y0*C + k * A

   此时方程的所有解为:x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0,令x=0可求出当x最小时的t的取值,但由于x=0是可能的最小取值,实际上可能x根本取不到0,那么由计算机的取整除法可知:由 t=c*k1/b算出的t,代回x=c*k1-b*t中,求出的x可能会小于0,此时令t=t+1,求出的x必大于0;如果代回后x仍是大于等于0的,那么不需要再做修正。

 

转载于:https://www.cnblogs.com/yefeng1627/archive/2012/12/24/2830594.html

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