LeetCode62不同路径

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

组合数学中的经典例题，答案为C(m+n-2, m-1)=C(m+n-2, n-1)。但阶乘函数即使用long long存储也会溢出，考虑dp。

//dp[i][j]:从（0,0）到（i,j）的路径数
//边界：dp[i][0]=0, dp[0][j]=0
//状态转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
class Solution {
     
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
     
        const int M = m;
        const int N = n;
        int dp[M][N];
        //边界
        for(int i=0; i<m; i++)
            dp[i][0] = 1;
        for(int j=0; j<n; j++)
            dp[0][j] = 1;

        for(int i=1; i<m; i++)
            for(int j=1; j<n; j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

时间复杂度：O(m*n)
空间复杂度：O(m*n)
题解有空间复杂度O(2n)和O(n)两种优化方法