向量范数+不同范数之间的关系

近期公式证明时候遇到向量范数的运算性质，略作整理：

向量范数

Def. 设V是Ω上的线性空间，α∈V , ||α||:V→R+, 满足

• 非负性
• 齐次性
  
  ||kα||=|k|⋅||α||,∀k∈Ω
• 三角不等式
  
  ||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V
  
  则称||α||为向量α的范数.

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proof:||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V

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(||α||+||β||)2=||α||2+||β||2+2||α||∗||β||

||α+β||2=||α||2+||β||2+2<α∗β>

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Cn中常用范数,X=(x1,x2,…,xn)T∈Cn

• L1范数：∑ni=1|xi|

• L2范数：∑ni=1|xi|2−−−−−−−−√

• L∞范数：maxi=1,2,…,n|xi|

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几种范数的几何意义：

若X=(x1,x2)T,且||X||=1,对应L1，L2，L∞，Lp范数的图形分别为

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常用范数之间的关系

• 1n||X||1≤||X||∞≤||X||1

proof : ||X||1=∑ni=1|xi|≤n∗max|xi|=n∗||X||∞

• ||X||∞≤||X||2≤n√||X||∞

proof : ||X||2∞=(max|xi|)2≤∑ni=1|xi|2=||X||22

n||X||2∞=n∗(max|xi|)2≥∑ni=1|xi|2=||X||22

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进一步范数的应用可参考：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995