客观赋权法——CRITIC权重法

一、概念

CRITIC法是一种比熵权法和标准离差法更好的客观赋权法。

它是基于评价指标的对比强度和指标之间的冲突性来综合衡量指标的客观权重。考虑指标变异性大小的同时兼顾指标之间的相关性，并非数字越大就说明越重要，完全利用数据自身的客观属性进行科学评价。

• 对比强度是指同一个指标各个评价方案之间取值差距的大小，以标准差的形式来表现。标准差越大，说明波动越大，即各方案之间的取值差距越大，权重会越高；
• 指标之间的冲突性，用相关系数进行表示，若两个指标之间具有较强的正相关，说明其冲突性越小，权重会越低。

对于CRITIC法而言，在标准差一定时，指标间冲突性越小，权重也越小；冲突性越大，权重也越大；另外，当两个指标间的正相关程度越大时，（相关系数越接近1），冲突性越小，这表明这两个指标在评价方案的优劣上反映的信息有较大的相似性。

二、步骤

假设有n个待评价样本，p项评价指标，形成原始指标数据矩阵：
$$X=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& ...& x_{1p}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& \cdots & x_{np}\end{array}\right)$$

其中$X_{ij}$ 表示第 i 个样本第 j 项评价指标的数值。

例如：

	GDP	就业人数	财政支出	人均可支配收入
北京	xx	xx	xx	xx
上海	xx	xx	xx	xx
广州	xx	xx	xx	xx
深圳	xx	xx	xx	xx

（1）无量纲化处理

为消除因量纲不同对评价结果的影响，需要对各指标进行无量纲化处理处理。

CRITIC权重法一般使用正向化或逆向化处理，不建议使用标准化处理，原因是如果使用标准化处理，标准差全部都变成数字1，即所有指标的标准差完全一致，这就导致波动性指标没有意义。

正向化或逆向化处理：

若所用指标的值越大越好（正向指标:）
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_j-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}$$
若所用指标的值越小越好（逆向指标:）
$$x_{ij}^{\prime }=\frac{x_{\max }-x_j}{x_{\max }-x_{\min }}$$

无量纲化处理总结

图片来自：数据无量纲化处理（归一化VS标准化）

（2）指标变异性

以标准差的形式来表现

$$\{\begin{array}{l}{\bar{x}}_j=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}\\ \\ S_j=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{\left(x_{ij}-{\bar{x}}_j\right)}^2}{n-1}}\end{array}$$

$S_j$ 表示第 j 个指标的标准差

在CRITIC法中使用标准差来表示各指标的内取值的差异波动情况，标准差越大表示该指标的数值差异越大，越能放映出更多的信息，该指标本身的评价强度也就越强，应该给该指标分配更多的权重。

（3）指标冲突性

用相关系数进行表示

$$R_j=\sum _{i=1}^p\left(1-r_{ij}\right)$$

$r_{ij}$表示评价指标 i 和 j 之间的相关系数

使用相关系数来表示指标间的相关性，与其他指标的相关性越强，则该指标就与其他指标的冲突性越小，反映出相同的信息越多，所能体现的评价内容就越有重复之处，一定程度上也就削弱了该指标的评价强度，应该减少对该指标分配的权重。

（4）信息量

$$C_j=S_j\sum _{i=1}^p\left(1-r_{ij}\right)=S_j\times R_j$$
$C_j$越大，第 j 个评价指标在整个评价指标体系中的作用越大，就应该给其分配更多的权重。

（5）客观权重

所以第 j 个指标的客观权重 $W_j$ 为：

$$W_j=\frac{C_j}{{\sum }_{j=1}^p{C}_j}$$

三、例子

	GDP	就业人数	财政支出	人均可支配收入
北京	xx	xx	xx	xx
上海	xx	xx	xx	xx
广州	xx	xx	xx	xx
深圳	xx	xx	xx	xx

------------------无量纲化处理后------------------

CRITIC权重计算结果

	指标变异性	指标冲突性	信息量	客观权重
GDP	xx	xx	xx	0.42
就业人数	xx	xx	xx	0.23
财政支出	xx	xx	xx	0.15
人均可支配收入	xx	xx	xx	0.20