二项式反演复习笔记

这篇blog讲的非常详细

列几个常用的柿子

$$f(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)⟺g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)f(i)$$

$$f(n)=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)g(i)⟺g(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

$$f(n)=\sum _{i=m}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)g(i)⟺g(n)=\sum _{i=m}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(i)$$

$$f(n)=\sum _{i=n}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n}\right)g(i)⟺g(n)=\sum _{i=n}^m(-1{)}^{i-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{n})f(i)$$

证明懒得写了，上面链的blog里有非常详细的证明

应用的话，主要是第3、4条柿子，可以用作将 至多$k$、至少$k$ 的方案数，转化成恰好$k$的方案数