导向滤波（guided Image Filtering）

        最近两天看了何凯明大神的导向滤波器（Guided Image Filtering），刚刚才顿悟整篇文章的核心。本文只针对于$I=p$的情况，即对图像$I$进行滤波处理。个人认为导向滤波器其实就是对均值滤波器的改进。由于均值滤波器会使图像模糊，尤其是对图像的边缘影响较大。然而，对图像进行处理时，图像的主要信息都隐藏在边缘处。所以为了保护图像的边缘信息，又能具有良好的滤波效果，是不是有一种滤波器在图像平滑的地方进行均值滤波，而在图像边缘的地方不进行滤波，或者进行轻微的滤波，那么图像的边缘信息不就保留下来了么，而且平滑的地方还有很好的均值滤波效果。
        那么问题来了，如何才能知道到底是不是图像的边缘呢？这里何凯明大神选取的指标是方差。方差是表示被统计信息变化特征的量。方差越大，表示图片在这里变化越大，也就表示此处是图像里某一物体的边缘，此处的信息需要进行保护。方差越小，表示图片在这里变化较小，该处所含信息量较少，可以进行滤波平滑处理。
        边缘参数找到了，如何将边缘参数的信息反映到对图像的滤波处理上呢？何凯明大神此处选取的是对图片每一像素值的线性处理，方程为：
$$\begin{array}{rlr}{q}_i=a_i{I}_i+b_i& & (1)\end{array}$$
        这里$q_i$是处理后的像素值，$I_i$是待处理的像素值。 $a_i$和$b_i$是对像素值 进行线性处理的参数。且
$$\begin{array}{rlr}{a}_i=\frac{{\sigma }_i^2}{{\sigma }_i^2+ϵ}& & (2)\end{array}$$
$$\begin{array}{rlr}{b}_i={\mu }_i-a_i{\mu }_i& & (3)\end{array}$$
        将（3）代入（1）得
$$\begin{array}{rlr}{q}_i=a_i(I_i-{\mu }_i)+{\mu }_i& & (4)\end{array}$$

        这里${\mu }_i$为该点及附近点的均值（即：该点经过均值滤波器处理后的值）， ${\sigma }_i^2$为该点及附近点的方差。 $ϵ$为一设置参数，用来表示图片此处平坦还是边缘的方差阈值。由式（2）可知，$a_i$的范围为（0,1）。当$\sigma \ll ϵ$时，表示图片此处平坦，则$a_i\approx 0$，$q_i\approx {\mu }_i$ 。此处的滤波效果为经过均值滤波器的效果。当${\sigma }_i\gg ϵ$时，表示图片此处变化较为剧烈，为边缘，则$a_i\approx 1$, $q_i\approx I_i$结果为图片未经过任何处理。
细读论文会发现，滤波的最终公式为:
$$\begin{array}{rlr}{q}_i={\bar{a}}_i{I}_i+{\bar{b}}_i& & (5)\end{array}$$
        分别对参数$a_i$和$b_i$进行了一次均值滤波处理。这里我没太想明白。可能是作者嫌处理后的图像不够平滑，又做了一次平滑处理吧。近似相当于对式（1）得到的结果进行了一次均值滤波处理，但是作者可能又觉得对式（1）得到的结果进行均值滤波处理边缘信息丢失的比较严重，所以作者只对参数$a_i$和$b_i$分别进行均值滤波处理。这样得到的图片会更加光滑一些，且边缘信息丢失的也不严重吧。