ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 J-Sum

题目链接：ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 J-Sum

题意

         \;\;\;\; $f[i]$ 表示有序整数对 $(a,b)$，满足 $ab=i$ 的数量。
             \;\;\;\;\;\; eg: $f[6]=4$， $6=1\cdot 6=6\cdot 1=2\cdot 3=3\cdot 2$.

         \;\;\;\; 求 $f$ 的前 $n$ 项和。

         \;\;\;\; $1\le T\le 20,1\le n\le 2\ast 10^7$.

思路一（欧拉筛）

         \;\;\;\; 欧拉筛的思路：每个数被其最小素因子标记。
         \;\;\;\; 将一个数质因子分解： $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot p_3^{e_3}...$ ，在其所有的指数 $e_1,e_2,e_3...$ 中：
             \;\;\;\;\;\; 若 $e_i=1$，那么 $p_i$ 可以放在 $a$ 或 $b$ 中，对 $f[n]$ 贡献为 $\times 2$；
             \;\;\;\;\;\; 若 $e_i=2$，那么 $p_i$ 必须拆开，一个放在 $a$ 中，另一个放在 $b$ 中，对 $f[n]$ 贡献为 $\times 1$；
             \;\;\;\;\;\; 若 $e_i>2$，那么 $p_i$ 无论怎么拆分，在 $a$ 或 $b$ 中总会有平方数或其倍数，这时 $f[n]=0$.

代码一

/*
nero
https://nanti.jisuanke.com/t/A1956
c[i]记录最小质因子的指数 
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
#define lson(u) (u<<1)
#define rson(u) (u<<1|1)
#define Pi acos(-1)
#define iINF 0x3f3f3f3f
#define lINF 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define EPS 0.000000001
#define pii pair
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
 
const int MAXN = 20000005;
const ll Mod = 1000000007;
#define MOD(a, b) a>=b?a%b+b:a

int prime[MAXN], c[MAXN];
ll f[MAXN];
bool Isprime[MAXN];
void Init(){
     
	int N = MAXN-5, cnt = 0;
	f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= N; i++){
     
    	if(!Isprime[i]) {
     
    		prime[++cnt] = i;	
    		f[i] = 2;
    		c[i] = 1;
		}
		for(int j = 1; j <= cnt && (ll)i*prime[j] <= N; j++) {
     
			int x = i*prime[j];
			Isprime[x] = 1;
			
			if(i%prime[j] == 0) {
     
				c[x] = c[i] + 1;
				if(c[x] == 2) {
      // 指数为 2  
					f[x] = f[i/prime[j]];
				}
				else {
      			// 指数 > 3  
					f[x] = 0;
				}
				break;
			} 
			else {
     		// 指数为 1 
				c[x] = 1; // WA c[x] = c[i] 
				f[x] = f[i] * 2;
			}
    	}
	}
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
     
		f[i] += f[i-1];
	}
}
int main() {
     
	Init();
	int T, n;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
     
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld\n", f[n]);
	}
    return 0;
}
/*

*/

思路二（数论）

         \;\;\;\; 要求 ${\sum }_{i=1}^{n}ab=i$，即求 $\sum ab\le n$. 比如：当 $n=30,a=3$ 时，$30/3=10$，即有 $10$ 个 $b(1-10)$ 满足条件，再删掉其中的平方数以及它们的倍数即可。
         \;\;\;\; $sum[i]$ 表示前 $i$ 数中有多少个数不含平方数因子，$p[i]$ 表示第 $i$ 个不含平方数因子的数， 则 $ans=\sum sum[n/p_i]$.

代码二

/*
nero
https://nanti.jisuanke.com/t/A1956
bo[j]=0 表示数 j 不含平方数因子 
sum[i] 表示前i个数里面有多少个数不含平方数因子 
p[i] 表示第i个不含平方数因子的数 
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
#define lson(u) (u<<1)
#define rson(u) (u<<1|1)
#define Pi acos(-1)
#define iINF 0x3f3f3f3f
#define lINF 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define EPS 0.000000001
#define pii pair
#define MOD(a, b) a>=b?a%b+b:a
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
 
const int MAXN = 20000005;
const ll Mod = 1000000007;

int sum[MAXN], p[MAXN], cnt;
bool bo[MAXN];
void Init(){
     
	int N = MAXN-5;
    for(int i = 2; i <= N; i++){
     
    	ll x = i*i;
    	if(x > N) break;
    	for(int j = x; j <= N; j+=x) {
     
    		bo[j] = 1;
		}	
	}
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
     
		if(bo[i]) {
     
			sum[i] = sum[i-1];
		}
		else {
     
			p[++cnt] = i;
			sum[i] = sum[i-1] + 1;
		}
	}
}
int main() {
     
	Init();
	int T, n, ans;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
     
		scanf("%d", &n);
		ans = 0;
		for(int i = 1; i <= cnt && p[i] <= n; i++) {
     
			int idx = n/p[i];
			ans += sum[idx];
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
    return 0;
}
/*
*/

参考：
ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 Sum（线性筛）
ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 J.sum

好久没有写博客，忽然发现有了不同语言的代码片，好评！