中国剩余定理

作用

给出如下模方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪x≡r1(mod m1)x≡r2(mod m2)……x≡rk(mod mk) { x ≡ r 1 ( m o d   m 1 ) x ≡ r 2 ( m o d   m 2 ) … … x ≡ r k ( m o d   m k )

其中 mi(1<=i<=k) m i ( 1 <= i <= k ) 两两互质，求解满足的最小x。

中国剩余定理也称孙子定理，可以高效求解上述问题。
ps：好像几乎不考中国剩余定理=_=

方法

举个孙子算经里的例子：（今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？）

⎧⎩⎨⎪⎪x≡2(mod 3)x≡3(mod 5)x≡2(mod 7) { x ≡ 2 ( m o d   3 ) x ≡ 3 ( m o d   5 ) x ≡ 2 ( m o d   7 )

定理①：当 ax≡b(mod a x ≡ b ( m o d m) m ) 时， ax∗c≡b∗c(mod a x ∗ c ≡ b ∗ c ( m o d m) m ) ，这个很显然。
还可以得出 x0+105k(k∈Z,k>=0） x 0 + 105 k ( k ∈ Z , k >= 0 ） 均为该问题的解（ x0 x 0 是最小解，105是3,5,7的最小公倍数）。

所以我们可以把原来的式子转变为这样：

⎧⎩⎨⎪⎪x≡1(mod 3)x≡0(mod 5)x≡0(mod 7)⎧⎩⎨⎪⎪x≡0(mod 3)x≡1(mod 5)x≡0(mod 7)⎧⎩⎨⎪⎪x≡0(mod 3)x≡0(mod 5)x≡1(mod 7) { x ≡ 1 ( m o d   3 ) x ≡ 0 ( m o d   5 ) x ≡ 0 ( m o d   7 ) { x ≡ 0 ( m o d   3 ) x ≡ 1 ( m o d   5 ) x ≡ 0 ( m o d   7 ) { x ≡ 0 ( m o d   3 ) x ≡ 0 ( m o d   5 ) x ≡ 1 ( m o d   7 )

分别求解这三个模方程组的答案( x1 x 1 , x2 x 2 , x3 x 3 )，那么最后的答案x就等于 2∗x1+3∗x2+5∗x3 2 ∗ x 1 + 3 ∗ x 2 + 5 ∗ x 3 模105。

我们来看第一个方程组，为了让x满足 x≡0(mod x ≡ 0 ( m o d 5) 5 ) 和 x≡0(mod x ≡ 0 ( m o d 7) 7 ) ，我们需要保证x是 lcm(5,7)=35 l c m ( 5 , 7 ) = 35 的倍数，设x=35*y，那么这个方程组简化为 35y≡1(mod 35 y ≡ 1 ( m o d 3) 3 ) ，也就变成了普通的模方程，用扩展欧几里得就可以求解出y=2即x=70。第二个方程组可以求解出x=21，第三个方程组可以求解出x=15。

那么最小解就是：(2*70+3*21+2*15) mod 105=23。（三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便可知。）

有了这个例子，就不难给出代码了。不过我感觉中国剩余定理适用范围并不是很广，因为我们要取所有 mi m i 的最小公倍数即 Πmi Π m i ， mi m i 随便大一点就炸掉了，如果要写高精度需要除法，代码复杂度就很高了=_=。

模板

int China(int *w,int *m,int n)
{
    int lcm=1,ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) lcm*=m[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,M=lcm/m[i];exgcd(M,m[i],x,y);
        ans=(ans+x*M*w[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

模板题

POJ1006，题解传送门。