0901-Miller_Rabin素数测试算法+例题
看了好久终于把这个Miller_Rabin搞懂了，觉得自己棒棒哒~~~最后是在下面那篇博客里搞懂的，这里推荐给大家
-->参考<--
【写在前面】
费马定理 and 二次探测<证明来源>
然后费马定理是一个必要条件，也就是说素数一定满足这个定理，但满足这个定理的不一定是素数，比如说Carmichael数（我没研究过，有兴趣的同学自己百度吧，反正这种数就是反例）。
【正文】
了解这两个东西后，我们就可以开始搞事情了
问题引入
这道题就是让我们在给出的整数集合中统计有多少个素数，这个整数集合的大小在int范围以内，大概就是4294967296（哈哈，其实就是1e9级别的）
幼儿园做法：对于集合中的每一个数，我们都用试除法，每个数都会有
次的枚举，大概就是一个数65536上线，然后还有好多好多的数，妥妥的TLE
小学生做法：机智一点的小可爱会想到什么线性筛，什么埃拉托斯特尼筛法，但是哪一个的复杂度里没有带 n 的呢？？？？又是一个TLE
高中生做法：胡乱的来几下Miller_Rabin，没错就是宇宙无敌超可爱的博主我啦（请自动无视）
通过这几种方法的对比，我们就知道了Miller_Rabin算法的作用，对于很大的一个数快速判断其是否为质数。
但我们要知道Miller_Rabin这个算法是个大概率算法，也就是说不能100%保证验证的正确性，但据说75%的概率准确，而且通常情况下多搞几次，错的概率就很小了
铺垫弄完了，我们正经的讲算法了！！！
假设现在我们需要判断一个数x是否为质数：
若为2，则判断true
若为非2的偶数或1，则直接判断false
若都不是的话，我们就前往下一步
由于费马定理：a^(p-1)≡1(mod p).【p为质数】那如果我们的目标 x 不满足：a^(x-1)≡1(mod x)则x肯定不为质数
然后令 x-1 = u* 2^t ，求出 u，t，其中u是奇数（因为如果u为偶数，那么u中肯定含有因子2，那就可以提到2^t里面去）
变一下形：a^(x-1)≡1(mod x) => a^(u* 2^t )≡1(mod x) => (a^u)^(2^t )≡1(mod x) 【对于a我们是随机取的一个1~x之间的数】
我们令b=(a^u)%x，然后是t次循环，每次循环都让y=(b*b)%x，b=y,这样t次循环之后b=a^(u*2^t)=a^(n-1)了。这个时候二次探测就派上用场了，由于y=（b*b)%x中b是1~x中间的一个数（因为b一直在对x取模），若 y=（b*b)%x = 1，假设x是质数，那么b=1或b=x-1,那反过来如果b！=1且b！=x-1，那x肯定不是素数了
t次循环结束后，由于费马定理，这时如果b！=1，那x就不为素数了
因为Miller-Rabin得到的结果的正确率为 75%，所以要多次循环来提高正确率
最后若循环多次之后还没返回false，那么x肯定是素数了，返回true
【代码】
#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define in read()
using namespace std;
ll ans=0,n,x;
inline ll read(){
char ch;ll res=0;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
while(ch>='0'&&ch<='9'){
res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';
ch=getchar();
}
return res;
}
ll mod_mul(ll a,ll b,ll mod){//快速积（和快速幂思想一模一样）
ll ans=0;
while(b){
if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll mod_pow(ll a,ll b,ll mod){//快速幂
ll ans=1;
while(b){
if(b&1) ans=mod_mul(ans,a,mod);//这个地方要注意一下在这里可以写作ans*a%mod，但更一般的情况下，比如测的数很大很大，此时乘的时候可能会爆long long，而用函数的时候就边乘边取模，就不会爆了
a=mod_mul(a,a,mod);
b>>=1;
}
return ans;
}
bool miller(ll x){//由于和讲解时使用的符号都是统一的，所以我就不再批注了
int i,j,k,s=10;//s是循环的次数，用来提高正确率的那个
ll u=x-1,t=0;
if(x==2) return true;
if(!(x&1)||x<2) return false;
while(!(u&1)){//如果为偶数，就一直除以2，直到u为奇数
t++;
u>>=1;
}
for(i=1;i<=s;++i){
ll a=rand()%(x-1)+1;//随机搞，不过由可爱的勾勾同学亲自试验，发现如果用素数搞会快哦
ll b=mod_pow(a,u,x),y;
for(j=0;j 对于评论区我进行解释：
由于这道题我是作为Miller_Rabin的板子题，就把它当做最一般的情况进行处理的，并没有太考虑数据范围
所以有些地方针对此题是可以简写的，甚至用幼儿园做法