数据结构基础(18) --哈希表的设计与实现

哈希表

    根据设定的哈希函数 H(key)和所选中的处理冲突的方法，将一组关键字映射到一个有限的、地址连续的地址集 (区间) 上，并以关键字在地址集中的“映像”作为相应记录在表中的存储位置，如此构造所得的查找表称之为“哈希表”。

 

构造哈希函数的方法

1. 直接定址法(数组)

  哈希函数为关键字的线性函数H(key) = key 或者 H(key) = a*key + b

  此法仅适合于：地址集合的大小 == 关键字集合的大小

 

2. 数字分析法

  假设关键字集合中的每个关键字都是由 s 位数字组成 (u1, u2, …, us)，分析关键字集中的全体， 并从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为地址。

  此方法仅适合于:能预先估计出全体关键字的每一位上各种数字出现的频度。

 

3. 平方取中法

  以关键字的平方值的中间几位作为存储地址。求“关键字的平方值”的目的是“扩大差别” ，同时平方值的中间各位又能受到整个关键字中各位的影响。

  此方法适合于:关键字中的每一位都有某些数字重复出现频度很高的现象。

 

4. 折叠法

  将关键字分割成若干部分，然后取它们的叠加和为哈希地址。有两种叠加处理的方法：移位叠加和间界叠加。

  此方法适合于:关键字的数字位数特别多;

 

5. 除留余数法

  设定哈希函数为:{H(key) = key % p | 其中,p≤m(表长)并且p 应为不大于 m 的素数或是不含 20 以下的质因子}

   为什么要对 p 加限制？

    例如:给定一组关键字为：12, 39, 18, 24, 33,21，若取 p=9, 则他们对应的哈希函数值将为：3, 3, 0, 6, 6, 3;

  可见，若 p 中含质因子 3， 则所有含质因子 3 的关键字均映射到“3 的倍数”的地址上，从而增加了“冲突”的可能。

 

6. 随机数法

  设定哈希函数为:H(key) = Random(key)其中，Random 为伪随机函数;

  通常，此方法用于对长度不等的关键字构造哈希函数。

  

(如果关键字并不是数字, 则还需先对其进行数字化处理。) 

实际造表时，采用何种构造哈希函数的方法取决于建表的关键字集合的情况(包括关键字的范围和形态)，总的原则是使产生冲突的可能性降到尽可能地小(下面我们将以除留余数法构造哈希函数)。

 

处理冲突的方法

  “处理冲突” 的实际含义是：为产生冲突的地址寻找下一个哈希地址。

1. 开放定址法

  为产生冲突的地址 H(key) 求得一个地址序列：{ H0, H1, …, Hs|1≤ s≤m-1}

  其中:  H0 = H(key)

        Hi = ( H(key) + di ) % m {i=1, 2, …, s}

 对增量 di  有三种取法：

   1) 线性探测再散列
      di = c * i   最简单的情况  c=1

   2) 平方探测再散列
      di = 1^2, -1^2, 2^2, -2^2, …,

   3) 随机探测再散列
      di 是一组伪随机数列或者di=i×H2(key) (又称双散列函数探测)

  注意：增量 di 应具有“完备性”,即:产生的 Hi 均不相同，且所产生的s(m-1)个 Hi 值能覆盖哈希表中所有地址。则要求： 

    ※ 平方探测时的表长 m 必为形如 4j+3 的素数（如: 7, 11, 19, 23, … 等）；

    ※ 随机探测时的 m 和 di 没有公因子。

 

2. 链地址法(又称拉链法)

   将所有哈希地址相同的记录都链接在同一链表中(我们将采用的方法)。

 

哈希表的设计与实现

 //哈希表设计
 template <typename HashedObj>
 class HashTable
 {
 public:
     typedef typename vector::size_type size_type;

 public:
     explicit HashTable(int tableSize = 101)
         : theList(tableSize), currentSize(0) {}
     ~HashTable()
     {
         makeEmpty();
     }

     //判断元素x是否存在于哈希表中
     bool contains(const HashedObj &x) const;

     void makeEmpty();
     bool insert(const HashedObj &x);
     bool remove(const HashedObj &x);

 private:
     vector< list > theList;
     size_type currentSize;

     void rehash();
     int myHash(const HashedObj &x) const;
 };

哈希函数

 //如果关键字并不是数字, 则需先对其进行数字化处理
 template <typename Type>
 int hash(Type key)
 {
     return key;
 }
 template<>
 int hash<const string &>(const string &key)
 {
     int hashVal = 0;
     for (size_t i = 0; i < key.length(); ++i)
     {
         hashVal = 37 * hashVal * key[i];
     }

     return hashVal;
 }

 //哈希函数
 template <typename HashedObj>
 int HashTable::myHash(const HashedObj &x) const
 {
     //首先对key进行数字化处理
     int hashVal = hash(x);
     //计算哈希下标
     hashVal = hashVal % theList.size();
     if (hashVal < 0)
         hashVal += theList.size();

     return hashVal;
 }

哈希表的插入

 //插入
 template <typename HashedObj>
 bool HashTable::insert(const HashedObj &x)
 {
     //首先找到应该插入的桶(链表)
     list &whichList = theList[ myHash(x) ];
     //哈希表中已经存在该值了
     if (find(whichList.begin(), whichList.end(), x) != whichList.end())
         return false;

     //插入桶中
     whichList.push_back(x);
     //如果此时哈希表已经"满"了(所存储的元素个数 = 哈希表的槽数)
     //装载因子 == 1, 为了获取更好的性能, 再哈希
     if (++ currentSize > theList.size())
         rehash();

     return true;
 }

再哈希

 //判断是否是素数
 bool is_prime(size_t n)
 {
     if (n == 1 || !n)
         return 0;
     for (size_t i = 2; i*i <= n; i++)
         if (!(n%i))
             return 0;
     return 1;
 }
 //寻找下一个素数
 size_t nextPrime(size_t n)
 {
     for (size_t i = n; ; ++i)
     {
         if (is_prime(i))
             return i;
     }

     return -1;
 }

 //再哈希
 template <typename HashedObj>
 void HashTable::rehash()
 {
     vector< list > oldList = theList;

     //以一个大于原表两倍的第一个素数重新设定哈希桶数
     theList.resize( nextPrime(2*theList.size()) );
     //将原表清空
     for (typename vector< list >::iterator iter = theList.begin();
             iter != theList.end();
             ++ iter)
         iter -> clear();

     //将原表的数据插入到新表中
     for (size_type i = 0; i < oldList.size(); ++i)
     {
         typename list::iterator iter = oldList[i].begin();
         while (iter != oldList[i].end())
         {
             insert(*iter ++);
         }
     }
 }

哈希表的查找

    查找过程和造表过程一致。假设采用开放定址处理冲突，则查找过程为：对于给定值 K， 计算哈希地址 i = H(K),若 r[i] = NULL  则查找不成功,若 r[i].key = K  则查找成功否则 “求下一地址 Hi” ，直至 r[Hi] = NULL  (查找不成功)或r[Hi].key = K  (查找成功) 为止。

    而我们采用比较简单的链地址法(也称拉链法的查找实现):

 //查找:判断哈希表中是否存在该元素
 template <typename HashedObj>
 bool HashTable::contains(const HashedObj &x) const
 {
     const list &whichList = theList[ myHash(x) ];
     if (find(whichList.begin(), whichList.end(), x) != whichList.end())
         return true;

     return false;
 }

哈希表查找的分析:

  从查找过程得知,哈希表查找的平均查找长度实际上并不等于零。决定哈希表查找的ASL的因素

   1)选用的哈希函数；

   2)选用的处理冲突的方法；

   3)哈希表饱和的程度，装载因子 α=n/m 值的大小(n:记录数，m:表的长度)

  一般情况下，可以认为选用的哈希函数是“均匀”的，则在讨论ASL时，可以不考虑它的因素。

  因此，哈希表的ASL是处理冲突方法和装载因子的函数。可以证明,查找成功时有下列结果

线性探测再散列:

 

随机探测再散列:

 

链地址法

 

 

   从以上结果可见：哈希表的平均查找长度是装载因子的函数，而不是 n 的函数;这说明，用哈希表构造查找表时,可以选择一个适当的装填因子,使得平均查找长度限定在某个范围内(这是哈希表所特有的特点).

哈希表的删除操作

 //删除
 template <typename HashedObj>
 bool HashTable::remove(const HashedObj &x)
 {
     list &whichList = theList[ myHash(x) ];
     typename list::iterator iter = find(whichList.begin(), whichList.end(), x);
     //没有找到该元素
     if (iter == whichList.end())
         return false;

     whichList.erase(iter);
     -- currentSize;

     return true;
 }

清空哈希表

 //清空哈希表
 template <typename HashedObj>
 void HashTable::makeEmpty()
 {
     for (typename vector< list >::iterator iter = theList.begin();
             iter != theList.end();
             ++ iter)
     {
         iter -> clear();
     }
 }

附1-测试代码

 int main()
 {
     HashTable<int> iTable;
     // 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
     for (int i = 0; i < 10; ++i)
         iTable.insert(i+1);

     for (int i = 0; i < 10; ++i)
         if (iTable.contains(i+1))
             cout << i << ": contains..." << endl;
         else
             cout << i << ": not contains" << endl;
     cout << endl;

     //1 2
     for (int i = 0; i < 10; ++i)
         iTable.remove(i+3);

     for (int i = 0; i < 10; ++i)
         if (iTable.contains(i))
             cout << i << ": contains..." << endl;
         else
             cout << i << ": not contains" << endl;
     cout << endl;

     // 6 8
     iTable.makeEmpty();
     iTable.insert(6);
     iTable.insert(8);
     for (int i = 0; i < 10; ++i)
         if (iTable.contains(i))
             cout << i << ": contains..." << endl;
         else
             cout << i << ": not contains" << endl;

     return 0;
 }

附2-各类算法复杂度的比较