快速幂取余 总结

即求：a^b mod c

算法1（时间复杂度：O（b））：

直接计算

int ans = 1,i;
for(i=0;ii++)
    ans *= a;
ans %= c;

问题在于当a，b过大时，容易溢出。

算法2（时间复杂度：O（b））：

首先明确2个公式：
（1）：a^b mod c = [（a mod c）^b] mod c
（2）： (a*b) mod c = [ (a mod c) * (b mod c)] mod c
即：积的取余等于取余的积的取余！

证明：
设： d = a mod c , e = b mod c 。
所以： a = t*c+d , b = k*c+e
(a*b) mod c = (c的倍数 + de) mod c = de mod c
公式1 可由 公式2 推得。

int ans = 1,i;
a %= c;
for(i=0;ii++)
    ans *= a;
ans %= c;

这个改进不大，只是减小了数据溢出的可能。

算法3（时间复杂度：O（log b））：

首先公式：

每次用此公式迭代即为快速幂取余的算法！

最后快速幂取余代码：

int ans = 1;
a %= c;
while(b>0)
{

    if(b%2==1)  ans = (ans *a)%c;
    b /= 2;
    a = (a*a)%c;
}

看了算法竞赛（刘汝佳）之后发现还有一种写法，思想相同，用递归实现，代码：

int pow_mod(int a,int b,int c)
{
    if(n==0) return 1;
    int x = pow_mod(a,b/2,c);
    long long ans = (long long)x * x % c;
    if(b%2==1) ans = ans * a % c;
    return (int)ans;    
}

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