算法——指数取模运算（蒙哥马利算法）

蒙哥马利算法简介

蒙哥马利(Montgomery)幂模运算是快速计算a^b%k的一种算法，是RSA加密算法的核心之一。——百度百科
题目来源——xdoj1372

用到的公式

(a * b) % p = a % p * b % p % p

推论

base^exp % p = （base % p） * （base % p） * … *（base % p） % p（总共exp个小括号） 
若为exp偶数 = （base^2 % p) * (base^2 % p) * … * (base^2 % p) % p （总共exp/2个小括号）
若exp奇数 = （base^2 % p) * (base^2 % p) * … * (base^2 % p)  * base % p % p（总共（exp-1）/ 2个小括号） 
……
然后一直指数减半，底数平方取模。最后得出答案。

c语言实现

#include
long long int base;//底数
long long int exp_1;//指数
long long int mod;//取模数
long long Montgomery()
{
    long long int res = 1;
    while(exp_1)
    {
        if (exp_1&1)//如果为奇数
            res = (res*base) % mod;
        exp_1 >>= 1;//指数对半
        base = (base*base) % mod;//底数平方
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%I64d", &base, &exp_1, &mod);
    printf("%I64d", Montgomery());
    return 0;
}

样例输入

2 10000 10007

样例输出

3909

结语

蒙哥马利算法极大地减少了运算量，并且使得数据规模极大减小。使原本看似不可能完成的程序变得可行。