[HNOI2013]游走

题意

从 1 1 开始每次等概率随机选择一条边走下去,直到走到 n n 为止

定义一条边的期望是走到他的期望次数 × × 他的编号

让你给这些边编号,使得期望最小

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题解

可以贪心地考虑期望大的边编号要小,期望小的编号要大

定义 pi p i 表示走到点 i i 的期望走过的次数, di d i 表示 i i 的点度

考虑走过一条边 (u,v) ( u , v ) 的期望次数 Ei=pudu+pvdv E i = p u d u + p v d v

那么我们只需要求出每个点的期望走过多少次就好了

又有 pu=∑(u,v)∈E,v≠npvdv p u = ∑ ( u , v ) ∈ E , v ≠ n p v d v ,发现这个玩意是无法直接 DP D P 的,因为状态转移存在环

注意到 n n 号点不会对任何点的期望产生贡献,因为到 n n 就停了
1 1 号点是起点,所以他的期望次数要 +1 + 1
一开始从每个点出发走到自己的期望是 1 1

所以可以得到

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪p1−1d2p2−…−1dn−1pn−1=1−1d1p1+p2−…−1dn−1pn−1=0…−1d1−…−1dn−2pn−2+pn−1=0 { p 1 − 1 d 2 p 2 − … − 1 d n − 1 p n − 1 = 1 − 1 d 1 p 1 + p 2 − … − 1 d n − 1 p n − 1 = 0 … − 1 d 1 − … − 1 d n − 2 p n − 2 + p n − 1 = 0

当然两个点之间没边那么那一项就是 0 0

p.s. p . s . 注意数组大小,注意精度

#include
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=505,M=N*N;
const double eps=1e-10;
typedef int arr[N];
typedef double d;
int n,m,e1[M],e2[M];arr dg,g[N];d ans,p[N],E[M],G[N][N];
inline int cmp(const d&x){return fabs(x)<eps?0:(x<0?-1:1);}
inline void Guass(int n){
    int mx;d t;
    fp(i,1,n){mx=i;
        fp(j,i,n)if(cmp(G[mx][i]-G[j][i])<0)mx=j;
        if(mx^i)fp(k,i,n+1)swap(G[mx][k],G[i][k]);
        fp(j,i+1,n)if(cmp(G[j][i])){
            t=G[j][i]/G[i][i];
            fp(k,i,n+1)G[j][k]-=t*G[i][k];
        }
    }
    fd(i,n,1){
        fp(j,i+1,n)G[i][n+1]-=G[i][j]*p[j];
        p[i]=G[i][n+1]/G[i][i];
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);int u,v;
    fp(i,1,m){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e1[i]=u,e2[i]=v;
        g[u][v]=g[v][u]=1;
        ++dg[u],++dg[v];
    }
    fp(u,1,n)G[u][u]=1;G[1][n]=1;
    fp(u,1,n-1)fp(v,1,n-1)if(g[u][v])G[u][v]=-1.0/dg[v];
    Guass(n-1);
    fp(i,1,m)E[i]=p[e1[i]]/dg[e1[i]]+p[e2[i]]/dg[e2[i]];
    sort(E+1,E+m+1);
    fp(i,1,m)ans+=E[i]*(m-i+1);
    printf("%.3lf",ans);
return 0;
}