【算法】扩展卢卡斯详解

前置芝士

扩展卢卡斯相对较为复杂，需要较多的前置芝士。

1. 快速幂
2. 质因数分解
3. 组合数公式
4. 扩展欧几里得(exgcd)求逆元
5. 中国剩余定理（或excrt）
6. 熟练阅读Latex

至于卢卡斯定理，那真的不重要。

问题形式

卢卡斯($Lucas$)和扩展卢卡斯($exLucas$)都用于求解形如$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的答案。当$p$是质数时，直接用卢卡斯定理就可以*过去。

如果$p$不是质数，就得用今天的主角——扩展卢卡斯定理求解。

求解思想

由于$p$不是质数，那么我们考虑强行对其进行质因数分解：
$$p=\prod _{i=1}^n{p}_i^{a_i}$$
那么分解完后每一项$p_i^{a_i}$之间两两互质，只要我们能得出每组$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{a_i}$的答案，就可以用中国剩余定理合并得到最后的答案。

然后来考虑求解$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{a_i}$，我们知道$C_n^m=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$，那么我们也就是要求下面这个式子：
$$\frac{n!}{m!\times (n-m)!}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^a$$
那么显然我们要求出阶乘和阶乘的逆元。由于阶乘与模数当前不互质，所以极有可能不存在直接的逆元，需要我们对式子进行进一步的拆分。

我们从$n!$中把$p$的倍数全部提出，原式就会变成这样一个式子：
$$n!=p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\times \lfloor \frac{n}{p}\rfloor !\times \prod _{p\nmid i}^{n}i$$
式子中的$p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }$可以直接快速幂求出，$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor !$考虑递归求解，唯一比较麻烦的是后面剩下的不能被$p$整除的数。

仔细观察(去你丫的)可以发现，剩下这些项的乘积有循环节，长度小于$p^a$。由于显然$x\equiv x+p^a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^a)$，所以可以求出共有几个循环节，对第一个循环节暴力求一遍，然后用快速幂搞定。对于最后剩余的不能构成完整循环节的几项，依然是暴力求一遍搞定。

举个经典的例子：$n=19$，$p=3$，$a=2$
$$\begin{array}{rl}n!& =1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6\ast 7\ast 8\ast 9\ast 10\ast 11\ast 12\ast 13\ast 14\ast 15\ast 16\ast 17\ast 18\ast 19\\ & =(1\ast 2\ast 4\ast 5\ast 7\ast 8)\ast (10\ast 11\ast 13\ast 14\ast 16\ast 17)\ast 19\ast 3^6\ast 6!\\ & \equiv (1\ast 2\ast 4\ast 5\ast 7\ast 8{)}^2\ast 19\ast 3^6\ast 6!\end{array}$$
于是我们对括号内的求一遍，然后快速幂，接着暴力求未能构成循环节的$19$，最后递归求解$6!$。

由于$3^6$次这一项比较特殊，因为存在这一项，所以才可能不存在逆元，所以求阶乘的时候我们不对其进行计算，而在求组合数的时候单独处理。也就是说，我们求的阶乘，实际上是去掉了所有因子$p$后的阶乘。

这一部分的代码：

为了方便，我们会把$p^a$当做参数传入到$fac$函数中，即代码中的$k$。

ll fac(ll n, ll p, ll k) {      //n! % k (k=p^a)
    if(!n) return 1;		//0! = 1
    ll ans = 1;
    for(int i = 2; i <= k; i++) {		//处理循环节内的数字
        if(i%p) ans = ans*i % k;
    }
    ans = qpow(ans, n/k, k);		//所有循环节的乘积
    for(int i = 2; i <= n%k; i++) {		//剩下单独的项
        if(i%p) ans = ans*i % k;
    }
    return ans*fac(n/p, p, k)%k;		//递归求解
}

---

再回到求解组合数的过程。

上面说到，要在求组合数时单独处理形如$p^x$的项，那么具体的操作就是：我们用一个$cnt$变量记录最后的式子中有多少个因子$p$，那么$cnt$就等于$n$的阶乘中含有因子$p$的数量减去$m$和$n-m$的阶乘中含有的$p$的数量。

求法就是不断枚举范围内有多少个$p^x$的倍数（小学基本功）。

//记得开long long，n很大，直接把int炸飞
for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;;

然后答案就是$n!\ast inv(m!)\ast inv((n-m)!)\ast p^{cnt}$。

这一段的代码：

ll C(ll n, ll m, ll p, ll k){	//k = p^a
   	if(n < m) return 0;
	ll a = fac(n,p,k), b = fac(m,p,k), c = fac(n-m,p,k);
	ll cnt = 0;
	for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
	for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
	for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;
	return a*inv(b, k)%k * inv(c, k)%k * qpow(p, cnt, k)%k;
}

---

接下来就到了正式的$exLucas$部分。

首先我们把给定的模数$p$进行质因数分解。

然后对于每个$p_i^{a_i}$，都求一遍组合数$C_n^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i^{a_i}$，然后同时用$crt$合并。

先放$crt$代码：

ll crt(ll n, ll mod){
	return n*(p/mod)%p*inv(p/mod, mod)%p;
}

$p$是给定的模数，就相当于$crt$中所有模数的乘积，$mod$是当前的质因数分解出来的模数，就相当于单个方程的模数。

整段$exLucas$代码：

ll exlucas(){
	ll t = p, ans = 0;
	for(ll i = 2; i*i <= t; i++){	//质因数分解
		if(t%i) continue;
		ll tmp = 1;
		while(t%i == 0){		//求出pi^ai
			tmp *= i;
			t /= i;
		}
		ans = (ans+crt(C(n, m, i, tmp), tmp))%p;	//crt合并
	}
	if(t > 1) ans = (ans+crt(C(n, m, t, t), t))%p;	//如果剩下的t是大质数，再进行一次计算
	return ans%p;
}

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完整代码

洛谷P4720 【模板】扩展卢卡斯

#include 
#define ll long long
using namespace std;

ll n, m, p;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	if(!b){
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll res = exgcd(b, a%b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t-a/b*y;
	return res;
}

ll qpow(ll a, ll n, ll mod){
	ll res = 1;
	while(n){
		if(n&1) res = (res*a) % mod;
		a = (a*a) % mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}

ll inv(ll a, ll p){
	ll x, y;
	exgcd(a, p, x, y);
	if(x+p > p) return x;
	return x+p;
}

ll crt(ll n, ll mod){
	return n*(p/mod)%p*inv(p/mod, mod)%p;
}

ll fac(ll n, ll p, ll k){		//k = p^x
   	if(!n) return 1;
   	ll ans = 1;
	for(int i = 2; i <= k; i++){
		if(i%p) ans = ans*i % k;
	}
	ans = qpow(ans, n/k, k);
	for(int i = 2; i <= n%k; i++){
		if(i%p) ans = ans*i % k;
	}
	return ans*fac(n/p, p, k)%k;
}

ll C(ll n, ll m, ll p, ll k){	//k = p^x
   	if(n < m) return 0;
	ll a = fac(n,p,k), b = fac(m,p,k), c = fac(n-m,p,k);
	ll cnt = 0;
	for(ll i = p; i <= n; i *= p) cnt += n/i;
	for(ll i = p; i <= m; i *= p) cnt -= m/i;
	for(ll i = p; i <= n-m; i *= p) cnt -= (n-m)/i;
	return a*inv(b, k)%k * inv(c, k)%k * qpow(p, cnt, k)%k;
}

ll exlucas(){
	ll t = p, ans = 0;
	for(ll i = 2; i*i <= t; i++){
		if(t%i) continue;
		ll tmp = 1;
		while(t%i == 0){
			tmp *= i;
			t /= i;
		}
		ans = (ans+crt(C(n, m, i, tmp), tmp))%p;
	}
	if(t > 1) ans = (ans+crt(C(n, m, t, t), t))%p;
	return ans%p;
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> p;
	cout << exlucas() << endl;
	
	return 0;
}