JAVA算法：统计素数的数量

JAVA算法：统计素数的数量

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

示例:

输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

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算法设计

用数组flag标记非素数，每当出现一个flag[i]为false，计数器count加一。
关于素数有三点：

1. 大于3的素数一定是奇数，如3，5，7；
2. 奇数中的非素数也一定是奇数的乘积。
3. 对于一个很大的数n，它的两个因数i和j中一定有一个小于n的开方，所以我们让i <= Math.sqrt(n)，j >= n，这样可以避免重复讨论一些情况。

首先，我们用i从3到Math.sqrt(n)进行标记。
其次，根据上述的第2、3两点，通过乘积i*j对应index的方法对在flag中对合数为index的值赋值true，j+=2，外层一样，i+=2，因为大于3的数中只有奇数有可能是质数，而这些质数i可以通过j的循环标记所有i作为因数的合数。
标记完所有的合数之后，再用Math.sqrt(n)到n之间的遍历，count所有未被标记true的质数。

public int countPrimes(int n) {
       boolean[] mark = new boolean[n];
        if (n <= 2) return 0;
        int i = 3, count = 1; //i from 3, so there is one prime: 2
        while (i <= Math.sqrt(n)) {
            if (!mark[i]) {
                count++;
                int j = i;
                while (i*j < n) {
                    mark[i*j] = true;
                    j += 2;
                }
            }
            i += 2;
        }
        while (i < n) {
            if (!mark[i]) count++;
            i += 2;
        } 
        return count; 
}

另外一种算法设计

class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        boolean[] primes = new boolean[n];
        Arrays.fill(primes, true);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            for (int j = i+i; j < n; j += i) {
                primes[j] = false;
            }
        }
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (primes[i]) count++;
        }
        return count;
    }
}