蒟蒻maomao终于学会\(CRT\)啦！发一篇博客纪念一下（还有防止忘掉）
\(CRT\)要解决的是这样一个问题：
\[x≡a_1(mod m_1)\]
\[x≡a_2(mod m_2)\]
\[x≡a_3(mod m_3)\]
\[...\]
\[x≡a_k(mod m_k)\]
其中，\(m\)之间两两互质。这个问题有一个通解是\(\sum a_i * M * t_i / m_i\)，其中\(t_i\)代表方程\(M * t_i / m_i ≡ 1\)的最小正整数解。
为什么它是对的呢？对于任意一个式子\(x≡a_j(mod m_j)\)，通解中\(i = j\)的部分会贡献\(a_i\)的余数，而其它部分会贡献\(0\)的余数。
更一般的，我们来考虑如果\(m\)之间不互质的情况，由于打公式很累，所以详细请参考这个博客。
发一下\(exCRT\)的板子。
#include
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100010;
int n, bi[N], ai[N];
int add (int a, int b, int mod) {
return ((a + b) % mod + mod ) % mod;
}
int mul (int a, int b, int mod) {
int res = 0;
while (b > 0) {
if (b & 1) {
res = (res + a) % mod;
}
a = (a + a) % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
int exgcd (int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd (b, a % b, x, y);
int xx = y, yy = x - (a / b) * y;
x = xx, y = yy;
return gcd;
}
int excrt () {
int x, y;
int M = ai[1], ans = bi[1]; //通解是b[1] + a[1] * t ≡b[2] (mod a[2]);
for(int i = 2; i <= n; ++i) {
//M * x + a[i] * y = b[i] - ans;
//其中 ans + M * x % lcm (M, b[i]) 就是新的通解
//求出来的x是对于gcd (M, a[i])而言，所以要乘上c / gcd (M, a[i]);
int a = M, b = ai[i], c = add (bi[i], -ans, b);
int gcd = exgcd (a, b, x, y), bg = b / gcd;
x = mul (x, c / gcd, ai[i]);
ans += x * M;//更新前k个方程组的答案
M *= bg;//M为前k个m的lcm
ans = (ans %M + M) % M;
}
return ans;
}
signed main () {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> ai[i] >> bi[i]; //b是余数，a是模数。
}
cout << excrt () << endl;
return 0;
}