数组循环移位问题

《编程之美》中的题目要求只使用两个附加变量。王晓东编著的《算法设计与实验题解》中要求只用到O(1)的辅助空间。其它地方两本书的要求相同，都是O(n)的时间复杂度。两本书中的解法总结起来就是三种方法：（1）循环换位算法（2）三次反转算法（3）排列循环算法。这三种算法在王晓东的著作中都有实现代码。第一种算法是最原始的算法。第二种算法比较巧妙，即使用VU=reverse(reverse(U)reserve(V))，写成数学形式就是：

。

于是使用三次反转也可实现。第三种方法与数学有较大关系，以下着重解释第三种方法，借此复习一下数学。

对于第三种方法，王晓东老师在著作中介绍了一条循环置换分解定理：对于给定数组A[0..N-1]向后循环换位N-K位运算，可分解为恰好gcd(K,N-K)个循环置换，且0,...,gcd(K,N-K)-1中的每个数恰属于一个循环置换。其中gcd(x,y)表示x和y的最大公因数。

我们从头开始分析这个问题，对于数组A[0..n-1]，要将其向后循环移动k位元素。因为每个元素右移n位后又回到了原来的位置上，所以右移k位等于右移k mod n位。考虑每个元素右移k位后的最终位置，比如对于A[0]，右移k位后在k mod n位置上，原来在k mod n位置上的元素右移k位后到了2*k mod n的位置上，把如此因为A[0]的移动而受到连环影响必须移动的位置列出来，就是下面这样一个位置序列：0,k,2*k,...,(t-1)k。其中每一项都是在模n的意义下的位置。t*k mod n 的结果是0。t是使得t*k mod n的结果为0的最小正整数。

这个位置序列实质上是模n加法群中由元素k生成的一个循环子群。由群论中的结论(该结论的证明见最后)知，循环子群(k)的周期为n / gcd(k,n)，元数为n / gcd(k,n)，其陪集个数为gcd(k,n)。换句话说，A[0..n-1]循环右移k位的结果是循环子群(k)以及它的所有陪集循环右移一位。例如，将A[0..5] = {1,2,3,4,5,6}循环右移4位，这里n = 6, k = 4, gcd(k, n) = 2。A[0]的最终位置是4,A[4]的最终位置是2,A[2]的最终位置是0，这样，位置0,4,2便是由k=4生成的循环群，周期为6 / gcd(4,6) = 6 / 2 = 3，这样的循环子群共有gcd(4,6) = 2个。

第三种方法的完整代码如下：

// 数组的循环移位 #include int gcd(int m, int n) { int r; while(r = m % n) { m = n; n = r; } return n; } void shiftArray(int A[], int n, int k) { // 因为左移的代码比右移的代码好实现的多，而右移k位 // 等价于左移-k位，-k = n - k。以下代码是通过左移-k位来实现右移k位 k = n - (k % n); for(int i = 0, cnt = gcd(n, k); i < cnt; i++) { int t = A[i], p = i, j = (k+i) % n; while(j != i) { A[p] = A[j]; p = j; j = (k + p) % n; } A[p] = t; } } void printArray(int A[], int n) { for(int i = 0; i < n; i++) { printf("%-3d", A[i]); if((i+1)%10 == 0) printf("/n"); } } int main() { int A[] = {1,2,3,4,5,6, 7}; shiftArray(A, 7, 4); printArray(A, 7); return 0; }

上述所用到的那个群论结论的证明：

结论：设G是一个循环群，其中一个生成元素为a，若r和n的最大公约数为d，则a^r的周期为n / d。

 

在模n加法群中，1是一个生成元素，任意元素k=1*k，所以任意元素k生成的循环子群(k)的周期为n / gcd(k,n)。因为gcd(k,n)=gcd(k,n-k)，所以也可以写成n / gcd(k, n-k)。