第一部分 数理逻辑 第二章 命题逻辑等值演算

Chapter Two - 命题逻辑等值演算

1 - 要点

等值式：如果A↔B是重言式，那么称A与B等值的，记为A⇔B，并称A⇔B为等值式

基本等值式：

（1）双重否定律A⇔￢￢A

（2）幂等律A∨A⇔A，A∧A⇔A

（3）交换律A∨B⇔B∨A，A∧B⇔B∧A

（4）结合律（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C），（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）

（5）分配率A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C），A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）

（6）德摩根律￢（A∨B）⇔￢A∧￢B，￢（A∧B）⇔￢A∨￢B

（7）吸收律A∨（A∧B）⇔A，A∧（A∨B）⇔A

（8）零律A∨1⇔1，A∧0⇔0

（9）同一律A∨0⇔A，A∧1⇔A

（10）排中律A∨￢A⇔1

（11）矛盾律A∧￢A⇔0

（12）蕴涵等值式A→B⇔￢（A∨B）

（13）等价等值式A↔B⇔（A→B）∧（B→A）

（14）假言异位A→B⇔￢B→￢A

（15）等价否定等值式A↔B⇔￢A↔￢B

（16）归谬论（A→B）∧（A→￢B）⇔￢A

等值演算：由已知的等值式推算出新的等值式的过程

置换规则：如果A⇔B，那么Φ（A）⇔Φ（B）

重言式与矛盾式的判别法：A为重言式，当且仅当A⇔1；A为矛盾式，当且仅当A⇔0

文字

简单析取式

简单合取式

极小项

极大项

（公式的）析取范式

（公式的）合取范式

（公式的）主析取范式

（公式的）主合取范式

定理：在命题逻辑中，任何公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且它们是惟一的

求公式A的主析取范式的方法与步骤：

（1）方法一 等值演算法：

S1：消去A中联结词→，↔（若存在）

S2：否定联结词的内移（￢（A₁∨A₂）⇔￢A₁∧￢A₂，￢（A₁∧A₂）⇔￢A₁∨￢A₂）

或消去（￢￢A₁⇔￢￢A₁）

S3：使用分配率（A₁∧（A₂∨A₃）⇔（A₁∧A₂）∨（A₁∧A₃））

以上3步将A等值的化成析取范式

S4：将析取范式中不是极小项的简单合取式利用排中律、同一律、分配率化成若干个极小项

S5：将极小项用名称mi表示，使用幂等律，最后排序

（2）方法二 真值表法

S1：写出A的真值表

S2：找出A的成真赋值

S3：写出每个成真赋值对应的极小项（用名称表示），按角标从小到大顺序析取

求公式A的主合取范式的方法与步骤：

（1）方法一 等值演算法

（2）方法二 真值表法：

S1：写出A的真值表

S2：写出A的成假赋值

S3：写出每个成假赋值对应的极大项（用名称表示），按角标从小到大顺序合取

（2）方法三 由A的主析取范式求A的主合取范式

主析取范式的用途（与真值表相同）

（1）求公式的成真赋值和成假赋值

（2）判断共识的类型

（3）判断两个公式是否等值

（4）解实际问题等

真值函数：n元真值函数F：{0，1}ⁿ→{0，1}

任何一个含n个命题变项的命题公式A，都惟一的存在一个n元真值函数与之等值。

如果A,B与同一个真值函数等值，那么A⇔B

联结词完备集：{￢，∧，∨，→，↔}，{￢，∧，∨}，{￢，∧，∨，→}，{￢，∧}，{￢，∨}，{￢，→}，{↑}，{↓}

消解规则：设C₁和C₂是两个简单析取式，C₁含文字l，C₂含l^c（l^c=￢l）。从C₁中删去l，从C₂中删去l^c，然后将所得的结果析取成一个简单析取式，称这样得到的简单析取式为C₁和C₂的（以l和l^c为消解文字的）消解式或消解结果，记为Res（C₁，C₂）由C₁和C₂得到Res（C₁，C₂）的规则称为消解规则。

合取范式的消解序列和否证：若简单析取式序列C₁，C₂，…，C_n中的每一个C_i（1≤i≤n）都是合取范式S中得一个简单析取式，或者是它之前的某两个简单析取式C_j，C_k（1≤j＜k≤i）的消解结果，则称此序列是由S导出C_n的消解序列。

当C_n=λ（空简单析取式）时，称次序列是S的一个否证

定理：一个合取范式是不可满足的，当且仅当它有否证

消解法：利用消解规则求解可满足性问题（判断任意给定的合式公式是否是可满足的）的算法