标量、向量、矩阵求导（两种布局方式）

问题引入

首先以一个网上很多博文引用的例子来开篇，例子见下图

问题初试

在了解向量和向量求导的时候，我看过以下一些公式：


首先Ax是个m维的列向量，它对x求偏导是个列向量对列向量求偏导的格式，所以可以套用上述公式(10)，那么得到的是：
$$\frac{\partial Ax}{\partial x}={\left(\begin{array}{c}\frac{\partial (a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n)}{\partial x}\\ \frac{\partial (a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n)}{\partial x}\\ \cdots \\ \frac{\partial (a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n)}{\partial x}\end{array}\right)}_{m\times 1}$$

那么就转换成了标量对向量的求偏导的形式了，可以套用上面的公式(5),于是化简成接下来的样子：
$$\frac{\partial Ax}{\partial x}={\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial (a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial (a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n)}{\partial x_n}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial (a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n)}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial (a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n)}{\partial x_n}\end{array}\right)}_{(m\ast n)}$$
这样最后得到的化简结果是一个m*n维的列向量和网上得到的答案A^T不一致，那么我这个答案有没有错呢？讲道理按照公式来推应该也没有问题，然后看到了这篇文章：知乎链接。所以我按照公式推其实也没错，只是表现的形式不一样。(应该是把？)
那么怎么去得到A^T这个答案呢？于是我就上网找资料以及向同学请教，找到了一个可能的答案：是因为布局方式的问题。

布局方式

布局方式分分子布局和分母布局。
分子布局： 分子为 y 或者分母为 x^T (即，分子为列向量或者分母为行向量)
分母布局： 分子为 y^T 或者分母为 x (即，分子为行向量或者分母为列向量)

按照不同的布局方式，有几种情形，比如在分子布局方式下计算：标量/向量，向量/标量，向量/向量，标量/矩阵，矩阵/标量。

分子布局下：

标量/向量（分母是向量，且是分子布局，则把分母的向量按照行向量铺开）：

向量/标量:（分子是向量，且是分子布局，则把分子按照列向量铺开）

向量/向量：（分子分母都是向量，且是分子布局，则分子向量按照列向量铺开，分母向量按照行向量铺开）：

标量/矩阵（分子布局下，X矩阵是转置后铺开的）：

分母布局下：

标量/向量（分母是向量，且是分母布局，则把分母的向量按照列向量铺开）：

向量/标量:（分子是向量，且是分母布局，则把分子按照行向量铺开）：

向量/向量：（分子分母都是向量，且是分母布局，则分子向量按照行向量铺开，分母向量按照列向量铺开）：

标量/矩阵（分母布局下，X矩阵无需转置，就是原矩阵）：

问题解决

那么回到我们刚开始引入的例子来：

这里它这个答案得到A^T应该是因为它采用的是分母布局。
那么下面我分别按照分母布局和分子布局来计算一遍它的答案。

分子布局下将分子看成列向量展开，分母看成行向量展开：

分母布局下将分子看成行向量展开，分母看成列向量展开：

以上博文信息是自己的一点点学习总结，实属抛砖引玉，有不对的地方麻烦各位不吝赐教。

参考博文：
https://blog.csdn.net/uncle_gy/article/details/78879131
https://blog.csdn.net/nomadlx53/article/details/50849941
https://blog.csdn.net/shouhuxianjian/article/details/46669365