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Codeforces Round #548 (Div. 2) D. Steps to One

题目链接：Codeforces Round #548 (Div. 2) D. Steps to One

题目大意：一个数列，一开始是空的，每次往他最后一个位置随机的加上一个[1,m]范围内的数字，然后对当前数列所有的数字求gcd，如果gcd不为1，那么就继续添加，否则停止。问最后这个数列期望的长度。

思路：拿到题目首先明白一定是道期望dp。我们考虑dp[x]为此时序列gcd为x，到序列gcd为1时(结束)的长度。由全期望公式E[x]=\sum p[y]\cdot E[x\left | y]. 得

                                                       dp[x]=1+\frac{\sum_{1}^{m}dp[gcd(x,i)]}{m}.

由此我们得到了一个O(n^{2})的解法，显然复杂度时不够的 (1≤m≤100000).

因此我们考虑对每一个d=gcd(x,i)来说d\left|x，因此我们可以将枚举的复杂度降为O(logm),令f(d)表示\sum_{1}^{m}\left [ gcd(x,i)==d \right ]

则上述状态转移可化为

                                                        dp[x]=1+\frac{\sum dp[d]\cdot f(d) }{m},其中d\left|x

(可对f(d)反演，稍后再说)

现在来计算f(d):

对于集合set=\left \{ i \right|i\in \left [ 1,m\right ],gcd(x,i)=d},令\left\{\begin{matrix} & x=k_{x}\cdot d & \\ & i=k_{i}\cdot d \end{matrix}\right.，即gcd(k_{x},k_{i})=1，得到m^{\\'}=\frac{m}{d},x^{'}=\frac{m}{d},集合set^{'}元素个数与原集合元素个数相同，该子问题转化为求在set^{'}内有多少与x互质的元素。设n为x^{'}的质因子数量，则子问题复杂度为O(2^{n}\cdot n).

总时间复杂度为O(m\cdot log_{2}m\cdot 2^{n}\cdot n)

代码(注释有很多细节)：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
ll pow_mod(ll a,ll b,ll p){
    ll ret=1;
    while(b){
        if(b & 1) ret=(ret*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
unordered_mapprime[maxn];//prime[j][i]表示j的素因子i的幂次(个数)
vectorfact[maxn];
bool isPrime[maxn];
ll dp[maxn];//dp[i]表示当前gcd和为i时到gcd和为1时的步长
ll m;
ll findCount(ll x,ll n){
	ll currCnt=m/x;
	vector arr;
	for(auto &it:prime[n])
		arr.push_back(it.first);
	
	ll sz=arr.size();
	ll lim=m/x;
	for(ll i=1;i<(1<>m;
	invm=pow_mod(m,mod-2,mod);//m的逆元
	dp[1]=0;
	for(ll i=2;i<=m;i++){
		ll rhs=1;
		for(ll x:fact[i]){//遍历i的所的约数
			ll cnt=findCount(x,i/x);//gcd(i,j)==x的个数，j取1~m
			rhs+=(dp[x]*cnt)%mod*invm%mod;
			if(rhs>=mod)rhs-=mod;//常数优化
		}
		ll cnt=m/i;
		dp[i]=rhs*m%mod*pow_mod(m-cnt,mod-2,mod)%mod;//移相结果
	}
	ll res=1;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		res+=dp[i]*invm%mod;
		if(res>=mod)
			res-=mod;
	}
	cout<

这道题的代码有很多值得学习的地方：

  1. 在线性筛的同时处理每个数的质因子。
  2. 因数分解的预处理。
  3. 取模的常数优化。
  4. 在计算f(n)的时候应用的容斥原理(原因是会有gcd(x,i)==x(i\geqx))),同时移项的时候也要注意！！！！！！(这一条其他题目也应用的非常多)
  5. 		ll cnt=m/i;
		dp[i]=rhs*m%mod*pow_mod(m-cnt,mod-2,mod)%mod;//移相结果

    该部分代码为移项后的化简结果。

反演的方法日后再补。

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    更上一层楼 通篇阅读完整个“入门”部分，你就完成了一个完整 Yii 应用的创建。在此过程中你学到了如何实现一些常用功能，例如通过 HTML 表单从用户那获取数据，从数据库中获取数据并以分页形式显示。你还学到了如何通过 Gii 去自动生成代码。使用 Gii 生成代码把 Web 开发中多数繁杂的过程转化为仅仅填写几个表单就行。 本章将介绍一些有助于更好使用 Yii 的资源：
  • Apache HttpClient使用详解 eksliang httpclienthttp协议
    Http协议的重要性相信不用我多说了，HttpClient相比传统JDK自带的URLConnection，增加了易用性和灵活性（具体区别，日后我们再讨论），它不仅是客户端发送Http请求变得容易，而且也方便了开发人员测试接口（基于Http协议的），即提高了开发的效率，也方便提高代码的健壮性。因此熟练掌握HttpClient是很重要的必修内容，掌握HttpClient后，相信对于Http协议的了解会
  • zxing二维码扫描功能 gundumw100 androidzxing
    经常要用到二维码扫描功能 现给出示例代码 import com.google.zxing.WriterException; import com.zxing.activity.CaptureActivity; import com.zxing.encoding.EncodingHandler; import android.app.Activity; import an
  • 纯HTML+CSS带说明的黄色导航菜单 ini htmlWebhtml5csshovertree
    HoverTree带说明的CSS菜单:纯HTML+CSS结构链接带说明的黄色导航   在线体验效果：http://hovertree.com/texiao/css/1.htm代码如下,保存到HTML文件可以看到效果：   <!DOCTYPE html > <html > <head> <title>HoverTree
  • fastjson初始化对性能的影响 kane_xie fastjson序列化
    之前在项目中序列化是用thrift，性能一般，而且需要用编译器生成新的类，在序列化和反序列化的时候感觉很繁琐，因此想转到json阵营。对比了jackson，gson等框架之后，决定用fastjson，为什么呢，因为看名字感觉很快。。。   网上的说法：   fastjson 是一个性能很好的 Java 语言实现的 JSON 解析器和生成器，来自阿里巴巴的工程师开发。
  • 基于Mybatis封装的增删改查实现通用自动化sql mengqingyu DAO
    1.基于map或javaBean的增删改查可实现不写dao接口和实现类以及xml，有效的提高开发速度。 2.支持自定义注解包括主键生成、列重复验证、列名、表名等 3.支持批量插入、批量更新、批量删除 <bean id="dynamicSqlSessionTemplate" class="com.mqy.mybatis.support.Dynamic
  • js控制input输入框的方法封装(数字，中文，字母，浮点数等) qifeifei javascript js
    在项目开发的时候，经常有一些输入框，控制输入的格式，而不是等输入好了再去检查格式，格式错了就报错，体验不好。 /** 数字，中文，字母,浮点数(+/-/.) 类型输入限制，只要在input标签上加上 jInput="number,chinese,alphabet,floating" 备注：floating属性只能单独用*/     funct
  • java 计时器应用 tangqi609567707 javatimer
    mport java.util.TimerTask;   import java.util.Calendar;   public class MyTask extends TimerTask {        private static final int
  • erlang输出调用栈信息 wudixiaotie erlang
    在erlang otp的开发中，如果调用第三方的应用，会有有些错误会不打印栈信息，因为有可能第三方应用会catch然后输出自己的错误信息，所以对排查bug有很大的阻碍，这样就要求我们自己打印调用的栈信息。用这个函数：erlang:process_display (self (), backtrace).需要注意这个函数只会输出到标准错误输出。 也可以用这个函数：erlang:get_s
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