牛客练习赛69 F.解方程（莫比乌斯反演 + 迪利克雷卷积性质 + 欧拉筛）

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$n,p,q$ 均为 $10^7$，这个规模下可以考虑求出所有的 $f(i)$，题目给出的式子很明显要用莫比乌斯反演，因为莫比乌斯反演的形式为：

形式一：设$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$ ，则有$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\ast F(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}F(d)\ast \mu (\frac{n}{d})$

形式二：设$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$ ，则有$f(n)=\sum _{n|d}F(d)\ast \mu (\frac{d}{n})$

接下来开始推公式：

$\sigma (n)=\sum _{i|n}i=\sum _{i|n}Id(i)=(Id\ast I)(n)$
显然同样可以得到 ${\sigma }_p(n)=\sum _{i|n}i=\sum _{i|n}I{d}_p(i)=(I{d}_p\ast I)(n)$

那么有 $f\ast I{d}_p\ast I=I{d}_q\ast I$，左右约掉函数 $I$，得到 $f\ast I{d}_p=I{d}_q$

$$\sum _{i|n}f(i)(\frac{n}{i}{)}^p=n^q$$ $$\sum _{i|n}\frac{f(i)}{i^p}=n^{q-p}$$

套用莫比乌斯反演可以得到：$$\frac{f(n)}{n^p}=\sum _{i|n}\mu (i)\ast (\frac{n}{i}{)}^{q-p}$$ $$f(n)=n^p\sum _{i|n}\mu (i)\ast (\frac{n}{i}{)}^{q-p}=n^q\ast \sum _{i|n}\frac{\mu (i)}{i^{q-p}}$$

迪利克雷卷积的性质告诉我们，$\frac{f(n)}{n^p}$ 是一个积性函数，且 $n^p$ 是一个积性函数，那么 $f(n)$ 一定也是一个积性函数，积性函数乘积性函数得到的也是积性函数。

考虑用欧拉筛来筛出 $f(n)$，考虑 $f(d)，f(d^k)$

$f(d)$ 显然等于 $d^q\ast (1-\frac{1}{d^{q-p}})$
$f(d^k)=d^{kq}\ast (1-\frac{1}{d^{q-p}})$

直接欧拉筛，这里不免要求一下质数的幂次，根据质数的分布性质，$n$ 以内大约有 $\frac{n}{\log n}$ 个质数，对这些质数求快速幂的复杂度为 $\log n$，时间复杂度为 $O(\frac{n}{\log n}\ast \log n=n)$ 的

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代码:

#include
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
const int mod = 998244353;
bool ispri[maxn];
int n, p, q, f[maxn], pri[maxn], val[maxn];
int fpow(int a,int b) {
     
	int r = 1;
	while (b) {
     
		if (b & 1) r = 1ll * r * a % mod;
		b >>= 1;
		a = 1ll * a * a % mod;
	}
	return r;
}
int calc(int d) {
     
	int v = p - q;
	if (v < 0) return (1 - fpow(fpow(d,-v),mod - 2) + mod) % mod;
	else return (1 - fpow(d,v) + mod) % mod;
}
void sieve(int n) {
     
	ispri[0] = ispri[1] = true; pri[0] = 0; f[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
     
		if (!ispri[i]) {
     
			pri[++pri[0]] = i;
			val[i] = fpow(i,q);
			f[i] = 1ll * val[i] * calc(i) % mod;
		}
		for (int j = 1; j <= pri[0] && i * pri[j] <= n; j++) {
     
			ispri[i * pri[j]] = true;
			if (i % pri[j] == 0) {
     
				f[i * pri[j]] = 1ll * f[i] * val[pri[j]] % mod;
				break;
			} else {
     
				f[i * pri[j]] = 1ll * f[i] * f[pri[j]] % mod;
			}
		}
	}
	/*for (int i = 1; i <= n; i++)
		f[i] = 1ll * f[i] * fpow(i,q) % mod; */
}
int main() {
     
	scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
	sieve(n);
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		res = res ^ f[i];
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}