数据结构与算法学习（绪论）

第一节 数据结构与算法绪论

程序设计=数据结构+算法

 

1、数据结构

数据结构：就是关系，数据结构相互之间存在的一种或者多种特定关系的集合。

1）逻辑结构：数据对象中各种元素间的相互关系。

四种逻辑结构：

集合结构：元素同属于一个集合。

线性结构：一对一的关系。

树形结构：一对多的层次结构。

图形结构：多对多的关系。

2）物理结构：数据的逻辑结构在计算机中存储形式。研究如何把数据元素存储到计算机存储器中。

存贮器主要是针对内存而言，像硬盘、软盘和关盘等外部存储器的数据组织通常用文件结构来描述。

 

2、数据结构存储的方式

数据结构存储的方式主要有两种：

1）顺序存储结构：将数据元素存储在地址连续的存储单元中，数据间的逻辑关系和物理关系式一致的，如数组结构。

2）链式存储结构：是把数据元素存储在任意的存储单元中，这些存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。显然，链式存储结构的数据结构的存储关系并不能反映其逻辑关系，需要一个指针存储数据元素的地址，通过地址就可以找到相关联数据元素的存放位置。

 

3、算法

算法：就是解决待定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示为一个或多个操作。

对于给定的问题，解决问题的方法有多种。

方法一：

int i,Sum=0,int n=100; //执行1次

for (i=1,i<=n,i++)  //执行n+1次

Sum+=i;          //执行n次

printf(‘%d’,Sum);  //执行1次

执行1+（n+1）+n+1=2n+3

方法二：

int i,Sum=0,int n=100; //执行1次

Sum=(1+n)*n/2; //执行1次

printf(‘%d’,Sum); //执行1次

执行1+1+1=3

 

算法的5个特征：

输入：有0个或者多个输入。

输出：至少有一个或者多个输出，

有穷性：只算法执行有限次后能够自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤都可以在 有限的时间内执行完。

确定性：算法每一个步骤都有明确的含义，不会出现二义性；

算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入，只有唯一的结果

可行性：算法的每一个步骤都是可行的，每一步都可以通过执行有限次数完成。

 

算法设计的要求：

正确性：

4个层次：

1）算法程序没有语法错误

2）对于给定的合法输入能够产生满足要求的输出

3）对于非法输入能够产生满足规格的说明

4）对于故意刁难的测试输入都有满足要求的输出结果。

可读性：便于阅读理解和交流

健壮性：输入不合法时，也能做出相应的处理，而不是产生异常，崩溃或者莫名奇妙的结果。

时间效率高和存储量低

 

 

第二节 算法效率度量方法

事后统计法：主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

缺陷：实现编好测试程序，浪费时间和精力，测试环境差别比较大。

事前分析估算算法：在程序编写前，依据统计方法对算法进行估计。

影响因素：

算法采用的策略，方案

编译产生的代码质量

问题的输入规模

机器执行指令的速度

总之，除计算机软硬件因素外，一个程序运行的时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模

 

我们研究的算法的复杂度、，侧重的事研究算法的随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确的定位需要执行多少次。

不计那些循环索引的递增和循环终止条件，变量声明，打印结果等操作，重要的事将基本操作的数量和输入模式并联起来。

 

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于个g(n)。

 

总结：判断一个算法效率时，函数中的常数项和其他次要项常常可以忽略，而应该关注主项（最高项）的阶数。

 

1、算法的时间复杂度

定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模n的函数，进而分析T(n) 随n的变化情况并确定T(n) 的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n)=O(f(n))。

它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

用O( )来体现时间复杂度的记法，我们称之为的O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增长，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O的阶：

1）用常数项取代运行时间中所有加法常数，

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3）如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数

4）得到最后结果就是大O阶

 

常见的时间复杂度

常数阶：O(1)

线性阶：随着问题规模的增大，对应计算次数成直线增长，时间复杂度记为O(n)。

平方阶：O(n^2)。

循环的时间复杂度就等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

Int i,j,n=100

for(i=1,i<=n,i++)

{

for(j=i,j<=n,j++)

{

printf(“*”);

}

}

执行次数:N(n)=n+n-1+...+1=(1+n)*n/2=n^2/2+n/2=O(n^2)。

对数阶：时间复杂度为O(logn)

int i=1,n=100

while(i

{

i=i*2;

}

2^x=n

x=log(2)n,

nlogn阶：O(nlogn)

立方阶：O(n^3)

指数阶：O(2^n)

复杂度：常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < nlogn阶 < 平方阶< 立方阶 < 指数阶

常用的时间复杂度所消费的时间从小到大依次为：

O(1) < O(logn) < O(n) < O( nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

 

 

2、函数调用的时间复杂度分析

int i,j;

for (i=0,i时间复杂度：O(n)

 

{

function(i);

}

void function(int count)//时间复杂度：O(1)

{

printf(“%d”,count);

}

若function函数是如下的循环，那么，该算法的时间复杂度就为0(n^2)。

void function(int count)//时间复杂度：0(n^2)

{

for(int j=count,j

{

printf(“*”);

}

}

 

最坏情况与平均情况

平均运行时间：是期望的运行时间。

最坏运行时间：是一种保证，在应用中，这是一整最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况下得运行时间。

 

 

3、算法的空间复杂度

写代码时可以用空间来换取时间。

算法的空间复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：

S(n)=O(f(n))，其中，n为问题规模，f(n)为语句关于n所站存储空间的函数。

通常，用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”只空间需求。

一般求“复杂度”时，通常是指“时间复杂度”。