[数学]Sum of f(x) 约数之和问题

Sum of f(x)

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Problem 11546 : No special judgement

Problem description

令f(x)为x的所有约数之和,x的约数即可以被x整除的数，如f(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60)，求 f(l) + f(l + 1) + …… + f(r)

Input

第一行为一个整数T(T<=100000)，表示数据的组数。 接下来T行，每行有两个整数l，r(1 <= l <= r <= 200000)

Output

对每组数据，输出f(l)+f(l+1)+……+f(r) 的和

Sample Input

2 3 5 10 20

Sample Output

17 270

Problem Source

HUNNU Contest

一个约数问题。之前简单地想了一种办法，从头到尾依次计算。

for(i = 3; i<=200000; i++)  
   {  
       a[i] = 1+i;  
       for(j = 2; j*j<=i; j++)  
       {  
           if(i%j==0)  
           {  
               a[i]+=j;  
               if(i/j!=j)  
                   a[i]+=(i/j);  
           }  
       }  
   }  

结果超时。加个变量进去看一下，发现总共计算了5000w次，其中有很多是没有必要的计算。

那么如何减少冗余的计算次数呢？

仔细看，这样要做的是求出所有F(x)的值，也就是说，每次计算F(x)的值可以用作累加过程。

所以每次将存在的约数对加入对应的F(x)中就可以了。

最终代码改成这样：

#include 
#include 
#include 
#include
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 200050;
long long F[MAXN];
long long sum[MAXN];
void initF() //F[i]全部保存下来了
{
    memset(F,0,sizeof(F));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(int i = 1; i<=200000; i++)
    {
        for(int j = 1; i*j <= 200000; j++)
        {
            F[i*j] += i;
        }
    }
    for(int i = 1; i<=200001; i++)
        sum[i] = F[i] + sum[i-1];
}

int main()
{
    initF();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int L,R;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&L,&R);
        printf("%I64d\n",sum[R]-sum[L-1]);
    }
    return 0;
}