gym102452J Junior Mathematician（数位dp）

题意：

其中x是一个数，k是x的数字位数，d(x,i)表示从左到右x的第i个数字是多少。
给定L，R，m，要求计算[L,R]中有多少个x，满足f(x)=x (mod m)。
答案对1e9+7取模。

数据范围：L,R不超过5000位

解法：

数位dp,
关于状态,一开始的想法是:
1.长度len
2.当前部分x%mod
3.当前部分f(x)%mod
4.当前部分左边的数位和sum%mod,
因为题目式子可以看作是每个digit[j]和左边的digit[i]匹配.

但是稍微算了一下,发现空间复杂度为5000*60*60*60>1e8,显然不行.
观察题目条件,要求的是f(x)=x (mod m),
可以转换为f(x)-x=0 (mod m),
那么上面的2和3两维可以合并为当前f(x)-x,只需要一维,
空间复杂度变为5000*60*60<2e7,可以过

code：

#include 
#define ll long long
using namespace std;
const int maxm=5e3+5;
const int mod=1e9+7;
char a[maxm],b[maxm];
int d[maxm][66][66];
int digit[maxm];
int p[maxm];
int len1,len2;
int m;
int dfs(int len,int limit,int fxx,int sum){
     
    if(!len)return fxx==0;
    if(!limit&&d[len][fxx][sum]!=-1)return d[len][fxx][sum];
    int ma=(limit?digit[len]:9);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=ma;i++){
     
        int _fxx=((fxx+sum*i-i*p[len-1])%m+m)%m;
        ans+=dfs(len-1,limit&&i==ma,_fxx,(sum+i)%m);
    }
    ans%=mod;
    if(!limit)d[len][fxx][sum]=ans;
    return ans;
}
int solve(char *s,int len){
     
    for(int i=1;i<=len;i++){
     
        digit[i]=s[len-i+1];
    }
    int ans=dfs(len,1,0,0);
    return ans;
}
signed main(){
     
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
     
        scanf("%s%s",a+1,b+1);
        scanf("%d",&m);
        len1=strlen(a+1);
        len2=strlen(b+1);
        for(int i=1;i<=len1;i++)a[i]-='0';
        for(int i=1;i<=len2;i++)b[i]-='0';
        //L减掉1
        a[len1]--;
        for(int i=len1;i>=1;i--){
     
            if(a[i]<0){
     
                a[i]+=10;
                a[i-1]--;
            }else{
     
                break;
            }
        }
        //init
        p[0]=1;
        for(int i=1;i<=len2;i++){
     
            p[i]=p[i-1]*10%m;
        }
        for(int i=1;i<=len2;i++){
     
            for(int j=0;j<=m;j++){
     
                for(int k=0;k<=m;k++){
     
                    d[i][j][k]=-1;
                }
            }
        }
        //
        int ans=(solve(b,len2)-solve(a,len1)+mod)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
	return 0;
}

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