9-13重大版高数笔记复习与补充

判断两个函数相同与否：

如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那么它们就是相同的函数。

实际定义域

在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的，通常称为实际定义域。

上确界与下确界

如果函数$f(x)$的上界存在，则一定存在最小的上界（称为上确界），记为$\sup f$
如果函数$f(x)$的下界存在，则一定存在最大的下界（称为下确界），记为$\inf f$

函数无界的另一种定义方式：

函数$f(x)$在$D$上无界$\iff \forall M>0$，总$\exists x^{\ast }\in D$，使得$|f(x^{\ast })|>M$

狄利克雷函数

狄利克雷函数的图形是无法画出的
狄利克雷函数是周期函数，任何非零有理数都是它的周期，但它无最小正周期。

函数的延拓

一般地，如果函数$f(x)$和$g(x)$满足
$D_g\subset D_f$，且当$x\in D_g$时，$f(x)=g(x)$
则称函数$f(x)$是函数$g(x)$的延拓。

反函数存在定理

如果函数$y=f(x)$在其定义域$D$上是单调增加（或减少）的，则它的反函数
$x=f^{-1}(y),y\in R_f$
存在，并且其反函数也是单调增加（或减少）的

基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数（也称为圆函数）、反三角函数

圆的面积推导

将圆的面积均割为$n$边形，那么这个$n$边形的面积为$S_n=\frac{1}{2}{l}_n{h}_n$
所以圆的面积为$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}{l}_n{h}_n=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot r=\pi r^2$

整标函数

数列可看作自变量为正整数$n$的一种特殊函数，即整标函数

单调有界原则

单调有界数列必有极限

Cauchy收敛原理

数列$\{x_n\}$收敛的充分必要条件是：$\forall \epsilon >0$，$\exists$正整数$N$，当$m>N，n>N$时，恒有：
$|x_m-x_n|<\epsilon$
换句话说：一个数列收敛的充分必要条件是：$\forall \epsilon >0$，这个数列中序号充分大的任意两项之差都小于$\epsilon$

一些结论

一般地，有：
$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_t^n}=\max \{a_1,a_2,...,a_t\}，a_i\ge 0，i=1,2,...,t$

$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+{\frac{1}{n}}^n)=e$