leetcode - 1155. 掷骰子的N种方法
这里有 d d d 个一样的骰子，每个骰子上都有 f f f 个面，分别标号为 1 , 2 , . . . , f 1, 2, ..., f 1,2,...,f。
我们约定：掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和。
如果需要掷出的总点数为 t a r g e t target target，请你计算出有多少种不同的组合情况（所有的组合情况总共有 f d f^d fd 种），模 1 0 9 + 7 10^9 + 7 109+7 后返回。
示例 1：
输入：d = 1, f = 6, target = 3
输出：1
示例 2：
输入：d = 2, f = 6, target = 7
输出：6
示例 3：
输入：d = 2, f = 5, target = 10
输出：1
示例 4：
输入：d = 1, f = 2, target = 3
输出：0
示例 5：
输入：d = 30, f = 30, target = 500
输出：222616187
提示：
1 <= d, f <= 30
1 <= target <= 1000
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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-dice-rolls-with-target-sum
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解题思路：
状态变量dp[i][j]表示用i个骰子得到的点数总和为j的方法总数；
因为一个骰子能够投掷出的点数的情况为f种，对于dp[i][j]，要求得dp[i][j]的方法数，可以通过以下状态转移方程求得：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + d p [ i − 1 ] [ j − 2 ] + . . . + d p [ i − 1 ] [ j − n ] ( j > = n ) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-2] + ... + dp[i-1][j-n](j>=n) dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+dp[i−1][j−2]+...+dp[i−1][j−n](j>=n)
因此可以得到C++代码如下：
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int d, int f, int target) {
vector<int> dp(target+1); #用于存储状态变量，为了方便和从1开始的骰子点数配合，变量设置为target+1
for(int i=1;i<=target;++i) #初始化状态变量值，当只有一个骰子时的所有情况
{
if(i<=f) #如果需要求的总点数小于等于骰子的点数，则将dp[i]设置为1
dp[i] = 1;
else #如果需要求的总点数大于骰子的点数，则将dp[i]设置为0
dp[i] = 0;
}
for(int i=2;i<=d;i++) #从第二个骰子开始使用动态转移方程
{
for(int j=min(i*f,target);j>0;j--) #两个骰子的最大可能取值的值为i*f，同时也有可能target小于i*f，因此取两者之间的较小值，这样可以减小程序的运行时间
{
dp[j]=0; #这里必须将dp[i]重新设置为0，否则会导致错误，可以理解为当要求i个骰子取得j值的方法个数时，首先需要将方法数初始化为0
for(int k=1;k<=f;k++) #这里使用动态转移方程
{
if(j-k>0)
dp[j] = (dp[j] + dp[j-k]) % 1000000007;
}
}
}
return dp[target];
}
};
上面的C++代码中使用的是一维数组，如果想更好地理解，可以看下面的使用二维数组的C++代码：
class Solution {
public:
int numRollsToTarget(int d, int f, int target) {
vector<vector<int>> dp(d+1,vector<int>(target+1)); #建立二维数组用于存储状态变量
for(int i=1;i<=target;++i) #初始化状态变量
{
if(i<=f)
dp[1][i] = 1;
else
dp[1][i] = 0;
}
for(int i=2;i<=d;i++) #使用动态转移方程
{
for(int j=1;j<=min(target,i*f);j++)
{
for(int k=1;k<=f;k++)
{
if(j-k>0)
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-1][j-k]) % 1000000007;
}
}
}
return dp[d][target]; #返回d个骰子掷出target点数的方法的个数
}
};