二分查找及其变种算法

前言

概念：二分查找（Binary Search）算法，一种针对有序数据集合的查找算法，也叫折半查找算法。

思想：二分查找针对的是一个有序的数据集合( 升序或降序 )，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0

步骤： 定义 low，high，mid指针，分别指向首尾中间 3 个位置，value 是我们要查找的值

进行如下算法

（1）当arr[mid] = value 时，找到则返回 mid下标

（2）当arr[mid] < value 时，说明目标元素在经由mid分割的右区间，故将区间起始位置 low 赋值为mid+1

（3）当arr[mid] > value 时，说明目标元素在经由mid分割的左区间，故将区间结束位置 high 赋值为mid-1

图解：

以有序集合 {8,11,19,23,27,33,45,55,67,98}为例，以查找值 value = 19进行分析

复杂度分析

假设数据规模是 n，每一轮查找数据规模都会缩小一半，也就是会除以2。最好的情况就是，在初始化就找到，最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

查找的区间变化是 —— $n$、$\frac{n}{2}$、$\frac{n}{4}$、$\frac{n}{8}$、... 、$\frac{n}{2^k}$, 可以看出来，这是一个等比数列。其中 $\frac{n}{2^k}$ = $1$ 时， k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 $\frac{n}{2^k}$ = $1$ ，我们可以求得 $k$ = $\log_2n$，所以时间复杂度就是 O(logn)

优点：高效的二分查找，拥有惊人的查找速度，因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次

编码

常规

迭代法实现

/**
 * 迭代法实现
 * @param arr
 * @param value
 * @return
 */
public static int binarySerach1(int[] arr, int  value) {
    //头部指针
    int low = 0;
    //尾部指针
    int high = arr.length - 1;

    while (low <= high){
        int mid = low + ((high - low) >> 1);

        if (arr[mid] == value){
            return mid;
        }else if (arr[mid] > value){
            high = mid - 1;
        }else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

注意点：

• 循环退出条件：注意是 low <= high，而不是 low < high

• mid 的取值问题：

  • mid =( low + high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出

  • 改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low + (high - low)/2

  • 将除法运算改为位运算，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多

递归法实现

/**
 * 递归法
 * @param arr
 * @param value
 * @return
 */
public static int binarySerach2(int[] arr, int  value){
    return bsearch(arr,0,arr.length -1,value);
}

private static int bsearch(int[] arr, int low, int high, int value) {

    if (low > high) return -1;

    int mid =  low + ((high - low) >> 1);
    if (arr[mid] == value) {
        return mid;
    } else if (arr[mid] > value) {
        return bsearch(arr, low, mid-1, value);

    } else {
        return bsearch(arr, mid+1, high, value);
    }
}

变种

1、查找第一个值等于给定值的元素

上面实现的二分查找算法实比较简单的需求，是有一定局限性的，例如，它是默认元素是不重复的。那么，假设有序结合是存在重复元素的，那么用上面的算法来解决肯定是有问题的。以有序数组{1,3,4,5,6,8,8,8,11,18}，其中，a[5]，a[6]，a[7] 的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。配图如下：

编码：

public static int binarySerach3(int[] arr, int value) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else if (arr[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } else {
            if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] != value)) return mid;
            else high = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

重点：从第11行代码才是算法的重点，前面的代码和之前的思路是一样的，在第11行代码开始就不同了，我们的需求是查找第一个值等于给定值的元素，那么只要注意两个地方就可以了

• mid == 0，这说明找到的值是数组下标 0 位置的值，也就是起点位置，那么肯定就是第一个值了
• 如果mid前一位的值不是要匹配的value，那么说明找到的就是第一个值，否则，high指向mid - 1，重新比较

2、查找最后一个值等于给定值的元素

还是以有序数组{1,3,4,5,6,8,8,8,11,18}，其中，a[5]，a[6]，a[7] 的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找最后个等于 8 的数据，也就是下标是 7 的元素。

编码：

/**
 * 查找最后一个值等于给定值的元素
 * @param arr
 * @param value
 * @return
 */
public static int binarySerach4(int[] arr, int value) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else if (arr[mid] < value) {
            low = mid + 1;
        } else {
            if ((mid == arr.length - 1) || (arr[mid + 1] != value)) return mid;
            else high = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

这个变种的案例与第一个很相似，稍微修改一下第11行后边的代码条件即可，不做详细分析

3、查找第一个大于等于给定值的元素

我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：{3，4，6，7，10}，如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。

编码：

/**
 * 变种三: 查找第一个大于等于给定值的元素
 * @param arr
 * @param value
 * @return
 */
public static int binarySerach3(int[] arr, int value) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] >= value) {
            if ((mid == 0) || (arr[mid - 1] < value)) return mid;
            else high = mid - 1;
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

重点：该变种也是寻找的第一个的值，同变种一的查找逻辑是一样的，只是将匹配值value改成查找比比值value大的,将arr[mid] >= value统一处理

4、查找最后一个小于等于给定值的元素

仍然以有效序列{3，4，6，7，10}为例，查找最后一个小于等于给定值的元素，如果给定值是5，那查找处理的就是就是 4。

/**
 * 变种四: 查找第一个大于等于给定值的元素
 * @param arr
 * @param value
 * @return
 */
public static int binarySerach4(int[] arr, int value) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    while (low <= high) {
        int mid =  low + ((high - low) >> 1);
        if (arr[mid] > value) {
            high = mid - 1;
        } else {
            if ((mid == arr.length - 1) || (arr[mid + 1] > value)) return mid;
            else low = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

思路和上面的大致一样，就不作分析了

局限性

二分查找的时间复杂度是 O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢？

1、二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组

那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

2、二分查找针对的是有序数据

二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

3、数据量太小不适合二分查找。

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

4、数据量太大也不适合二分查找。

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

声明

参考资料：王争 —《数据结构与算法之美》 、 排序的最低时间复杂度为什么是O（nlogn）

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