求两个三维向量的夹角（带正负）

1、数学上，两个三维向量是没有正负的。但是从公垂线的角度来看，可以有方向性。参考如下：

三维空间中两个向量会有一条公垂线(向量叉乘可以求得),以公垂线为轴,将第二个向量旋转一个角度,使其与第一个向量平行.这个角度即为两向量的夹角.因为向量叉乘所得到的公垂线是一个有方向的向量,假如你用右手握住公垂线,大姆指的方向指向公垂线方向.假如你只能以食指所指的方向旋转第二个向量,那么旋转的角度就应该在0到2*PI之间.所以说值域为(-pi,pi)也是有道理的.

作者：叶飞影
链接：https://www.zhihu.com/question/23817206/answer/42955951
来源：知乎

2、先看二维（XY）平面中，两个向量的叉积是 X1Y2-Y1X2 。几何上代表了垂直于XY平面的一个向量，向量的Z值是我们刚刚计算得到的值。
这种情况下，得到的值的正负可以对应到向量夹角的正负。

3、三维向量的情况

首先要确定一个平面，即两个三维向量形成的平面。得到这个平面的方程 AX+BY+CZ+D =0。
接着将这两个向量叉乘，得到垂直于这个平面的法向量（X0,Y0,Z0）。
将法向量带入平面方程，得到大于0 ，小于0 两种情况，分别对应正负值。

模型思想：由于叉乘自带方向性，根据右手定则，求得的法向量的方向就是“大拇指”指向的方向，利用这个方向性就可以分类正负角度的情况。

注：这样得到的正负其实还是没有普适性，因为正负需要我们先定义好，才能适用于其他的情况中。