冲激函数与冲激函数相乘与冲激函数对冲激函数卷积之间的区别

首先说，当一个运算出现了冲激函数与冲激函数相乘的运算时，就说明这个运算是错误的，违反了某些规则。例如：
sin（t）的傅里叶变换为：Dirac（w+1）+Dirac（w-1）
单位直流信号的傅里叶变换为2π*Dirac（w）
上述是正规的数学描述，但是按照容易的理解方式，我更愿意把Dirac（w+1）写成Dirac（1），同时将直流信号的2π暂时的省略（哈哈，为了简便）。
那么：
sin（t）的傅里叶变换为：Dirac（1）+Dirac（-1）
单位直流信号的傅里叶变换为Dirac（0）

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根据线性特性，sin（t）+1信号的傅里叶变换为Dirac（1）+Dirac（-1）+Dirac（0）
如果对sin（t）+1信号进行积分运算，根据傅里叶积分特性，积分后的信号傅里叶变换为：
1/(j w)[Dirac（1）+Dirac（-1）+Dirac（0）] + πDirac（0）*Dirac（0）
可以看到，上式中出现了冲激函数与冲激函数相乘的表达式，为什么呢？我们细想一下，在对sin（t）+1信号进行积分运算时，得出的信号因为直流分量的存在而必然趋向于无穷大，而这类型的不可积信号是没有傅里叶变换式的。

对于冲激函数对冲激函数卷积，这是可以出现的，比如下面的信号：

对于这个信号，我们可以认为是阶跃函数与sin（t）相乘，在频域就是阶跃函数傅里叶变换式与sin（t）傅里叶变换式的卷积，在卷积过程中，当w=1或w=-1时会遇到冲激函数对冲激函数卷积的情况，卷积的结果是冲激函数本身。

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所以，冲激函数对冲激函数的卷积的结果是冲激函数本身，如何理解这句话呢？我们知道任何信号对单位冲激函数的卷积等于该信号本身，那么单位冲激函数就相当于是一种“显像”信号，当冲激函数对冲激函数卷积时，就相当于将其中的一个冲激函数显像出来。