设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作
或 。
其实这个概念个人觉得按照我这么想，还是很好理解的，，，不过我看了好几本高数书，感觉都解释的不够直观简介，比如市面上吹的某济版。
话不多说，先举一个简单的例子
1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 ......................... (1)
毫无疑问这个数列的极限是0
再来看下一个
1 1 1 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 ............ (2)
毫无疑问这个数列的极限也是0
对比数列（1）与数列（2），，，你会明白，，在数列前面添加有限项，不改变数列的极限，而这也就是数列极限的概念里面为什么会有 ∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立 这个N是为了排除前面添加的一些有限项的干扰
至于 |xn-a|<ε 一般来说ε会是N的函数，并且N越大，ε越小，，因为会越来越趋近于极限嘛。