面试题学习总结--(1)最长递增子序列及其进阶版

本系列是看了牛课网老师左程云http://www.nowcoder.com/live/11的BAT面试算法精品课的学习记录，我争取用我能做到的最容易理解的方式用文字表达出来，欢迎一起学习~

1. 最长递增子序列O(n^2)版

例如：求 2 1 6 4 5 2 7 4 这8个元素的最长递增子序列的长度是多少？

无脑dp：

• 1.用h[i],记录第i个位置的最长子序列的个数，例如h[7]就是上述问题的解。
• 2.h[i+1],通过比较前面i个的数值与当前数值的大小，如果前面的那个数k比当前的数小，那么当前h[i+1]就可以为h[k]+1,遍历完取最大值即可，例如h[0]=1,h[1]=1表示前面一个数 2 或者俩个数 2 1的最长递增子序列的个数都为1，那么h[2]，由于6>1,2，那么h[2]可以为h[0]+1,也可以为h[1]+1,总之取最大值即可。
• 3.由于每查看一个数，都要把它前面所有的数都比较一番，查看玩所有的数后总代价为O(n)。

无脑dp代码

2.最长递增子序列O(nlogn)版

还是求 2 1 6 4 5 2 7 4 这8个元素的最长递增子序列的长度是多少？

有脑dp:

• 1.假设用一个数列h[i]来保存这“最完美” 状态的最长递增子序列，先来讲”最完美“版最长递增子序列怎么跟新的好了：
  原则：初始为第一个元素h={2}，之后的每个元素，找到h中第一次比它大的元素并替换它，如果没有则加在后面。

  • 1.检查到2: h[]={2}
  • 2.检查到1:h[]={1}
  • 3.检查到6:h[]={1,6}
  • 4.检查到4:h[]={1,4}
  • 5.检查到5:h[]={1,4,5}
  • 6.检查到2:h[]={1,2,5}
  • 7.检查到7:h[]={1,2,5,7}
  • 8.检查到4:h[]={1,2,4,7}

• 2.那么我们输出h的最大的元素个数4即使答案，为什么呢？

  • 1.事实上，最长递增子序列应该是1，4，5，7。其实从上述第5步时，我们也可以稍微看出一点1，4，5的影子，那么为啥来了个2就把4替换了呢？（看第6步和第5步的差别 ）替换有啥用处？以及替换后会影响最长递增子序列个数的结果吗？
  • 2.第6步和第5步的差别，为啥来了个2就把4替换了？这里，h[0,1]={1,4}变为h[0,1]={1,2}表示，在还未检查下一个之前，长度为2(俩个元素)的最小的组合为{1,2}(我们可以查看原数列，1,2和1,4长度为2的递增子序列都是存在的，最小的为1,2),这样就可以给后面再来的数字提供更大的空间,即h[i]表示递增子序列长度为i+1时，最后一个数字能渠道的最小值的情况，可以一直更新，为后面来的数字提供空间。
  • 3.替换后会影响最长递增子序列个数的结果吗？我们只是替换第一个比它大的数，为后面的可能留空间，并不会影响最长的结果。

2.最长递增子序列进阶O(nlogn)版

把元组(1,2)(3,7)(4,3)(5,4)(6,5),摞起来，(a1,b1),(a2,b2)满足a1即可把第二个摞在第一个上面，求最长能够摞几个要求时间复杂度为O(nlogn)？

解决办法

• 1.先根据a，按从小到大排序，如果a相同，b则按照从大到小排序，然后每个元组只取b的值，将所有取出来的b根据上述排序排成一列，那么这个新数列的最长递增子序列就是原问题的解。
• 2why?，首先先按a从小到大排序，解决了后面的a比前面的a大的问题，再者，对于b，如果不从大到小排列，那么b最开始就取一个很大的值，那么就可能把一些可能情况排除掉，例如(1,1)(2,9)|(3,4)(2,3)和(1,1)(2,3)(3,4)|(2,9),如果b不按从大到小,第一种，只能摞前俩个进去，后面就不能放上去了，第二种，给后面留了空间，就可以把(3,4)也摞进去了，并且不会影响(1,2)(2,9)这种情况的存在，万一这种也可能时最长的一种是吧？
• 3.总之一句话，a从小到大排列解决了a的问题，b从大到小排列，决解了所有可能的情况，并给后面的一个个b留足了空间。