欧几里得算法

1.最大公约数

设： gcd(a, b)=k g c d ( a ,   b ) = k

a=kc, b=kd（c∈N∗,d∈N∗） a = k c ,   b = k d （ c ∈ N ∗ , d ∈ N ∗ ）

∴c、d互质（c、d的公约数只有1）且c>d ∴ c 、 d 互 质 （ c 、 d 的 公 约 数 只 有 1 ） 且 c > d

∴a−b=k(c−d) ∴ a − b = k ( c − d )

∴gcd(b, a−b)=gcd(kd, k(c−d)) ∴ g c d ( b ,   a − b ) = g c d ( k d ,   k ( c − d ) )

假设 d、(c - d)不互质
即 d|(c−d) d | ( c − d )
∴ 设 c−d=k′d c − d = k ′ d
∴ c=d(k′+1) c = d ( k ′ + 1 )
与题设“c、d互质”不符，
∴ d与(c - d)互质

∴gcd(kd, k(c−d))=k ∴ g c d ( k d ,   k ( c − d ) ) = k

∴gcd(a, b)=gcd(b, a−b) ∴ g c d ( a ,   b ) = g c d ( b ,   a − b )

∴gcd(a, b)=gcd(b, a % b) ∴ g c d ( a ,   b ) = g c d ( b ,   a   %   b )

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2.ax + by = gcd(a, b)

ax+by=gcd(a, b) a x + b y = g c d ( a ,   b )

             =gcd(b, a % b)                           = g c d ( b ,   a   %   b )

             =bx′+(a % b)y′                           = b x ′ + ( a   %   b ) y ′

             =bx′+(a−[a/b]∗b)y′                           = b x ′ + ( a − [ a / b ] ∗ b ) y ′

             =bx′+ay′−[a/b]∗by′                           = b x ′ + a y ′ − [ a / b ] ∗ b y ′

             =ay′+b(x′−[a/b]∗y′)                           = a y ′ + b ( x ′ − [ a / b ] ∗ y ′ )

∴x=y′, y=x′−[a/b]∗y′ ∴ x = y ′ ,   y = x ′ − [ a / b ] ∗ y ′

终止条件：
b=0 b = 0 时： a∗1+b∗0=a a ∗ 1 + b ∗ 0 = a
即 x=1, y=0 x = 1 ,   y = 0
递归求解

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3. ax + by = c

用扩展欧几里得先求出 ax′+by′=gcd(a, b) a x ′ + b y ′ = g c d ( a ,   b ) 的一组解, x’, y’及gcd(a, b)的值

若 c mod gcd(a, b)≠0 c   m o d   g c d ( a ,   b ) ≠ 0
方程无解（整数范围内）

令：

c=gcd(a, b)∗k c = g c d ( a ,   b ) ∗ k

∴k=c/gcd(a, b) ∴ k = c / g c d ( a ,   b )

∴ax+by=c ∴ a x + b y = c

                =k∗gcd(a, b)                                 = k ∗ g c d ( a ,   b )

∴ax+by=akx′+bky′ ∴ a x + b y = a k x ′ + b k y ′

∴ax=akx′,by=bky′ ∴ a x = a k x ′ , b y = b k y ′

∵a!=0且b!=0 ∵ a ! = 0 且 b ! = 0

∴x=kx′,y=ky′ ∴ x = k x ′ , y = k y ′

∵k=c/gcd(a, b) ∵ k = c / g c d ( a ,   b )

∴x=x′∗c/gcd(a, b) ∴ x = x ′ ∗ c / g c d ( a ,   b )

   y=y′∗c/gcd(a, b)       y = y ′ ∗ c / g c d ( a ,   b )

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4. x的非负最小值

用扩展欧几里得先求出 ax′+by′=gcd(a, b) a x ′ + b y ′ = g c d ( a ,   b ) 的一组解,
x′ x ′ , y′ y ′ 及 gcd(a, b) g c d ( a ,   b ) 的值

lcm(a, b)=a∗b/gcd(a, b) l c m ( a ,   b ) = a ∗ b / g c d ( a ,   b )

ax+lcm(a, b)+by−lcm(a, b)=c a x + l c m ( a ,   b ) + b y − l c m ( a ,   b ) = c

ax+a∗b/gcd(a, b)+by−a∗b/gcd(a, b)=c a x + a ∗ b / g c d ( a ,   b ) + b y − a ∗ b / g c d ( a ,   b ) = c

a(x+b/gcd(a, b))+b(y−a/gcd(a, b))=c a ( x + b / g c d ( a ,   b ) ) + b ( y − a / g c d ( a ,   b ) ) = c

∴ ∴ x x + + 或 − − 任意倍数的 b/gcd(a, b) b / g c d ( a ,   b ) 均有对应的y的整数解

设t=b/gcd(a, b) 设 t = b / g c d ( a ,   b )

x=((x′∗c/gcd(a, b)) % t+t) % t x = ( ( x ′ ∗ c / g c d ( a ,   b ) )   %   t + t )   %   t 为方程的最小非负解.