23-动态规划解题一般思路

前面的讲解了数字三角形问题，这里整理一下使用动态规划解题的一般思路

1、将原问题分解为子问题

• 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
• 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2、确定状态

• 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。
• 所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”经过一次，每个状态上所花的时间是常数。

3、确定一些初始状态（边界状态）的值

以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的“状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

数字三角形的状态转移方程：

能用动规解决的问题的特点：

1. 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质。问题：D[i][j]的值为第i行第j列到底边路径的最大值，子问题：D[i+1][j]的值为第i+1行第j列到底边路径的最大值，D[i+1][j+1]的值为第i+1行第j+1列到底边路径的最大值.原问题和子问题的解都是最优解的。
2. 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。数字三角形中，D[i][j]到底边的最大值与D[i+1][j]和D[i+1][j+1]到底边的最大值有关，与怎么取，从哪条路经取D[i+1][j]和D[i+1][j+1]无关。