一类DP问题的分析（划分DP）

Preface

姑且让我把它叫做划分DP，以 Stirling 数为引。

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Stirling数

第二类 Stirling 数烂大街了，还是有必要从第一类 Stirling 数讲起。

• 第一类
  n 个各异的小球形成 k 个非空环排列的方案数
  s(n,k)=s(n−1,k−1)+(n−1)∗s(n−1,k)
  第一项为该小球单独形成一个环排列的方案数，第二项为该小球插入任何一个小球前面的方案数。
• 第二类
  n 个各异的小球分到 k 个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。
  S(n,k)=S(n−1,k−1)+k∗S(n−1,k)
  第一项为该小球单独放入一个空盒的方案数，第二项为该小球放入任何一个有球盒子的方案数。
  P.S.盒子各不相同只要乘以 k！ 即可。

小结：都是考虑“1对1”的方案实现转移，递推式类似。

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NOIP2001数的划分及扩展

• 原题
  题意简述： n 个相同的小球分到 k 个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空。
  F(n,k)=F(n−1,k−1)+F(n−k,k)
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形1
  n 个相同的小球分到若干个相同的盒子中的方案数。要求盒子非空且任意一个盒子中小球数不超过 k 。
  反转问题，把每个盒子中第 i 个小球放入 i 号盒，那盒子数不能超过 k ， ans=∑ki=1f(n,i)
• 变形2
  附加条件：盒子内小球数必须为奇数。
  设 G(n,k) 为盒子内小球数均为偶数的方案数，设 F(n,k) 为盒子内小球数均为奇数的方案数。
  G(n,k)=F(n−k,k)
  F(n,k)=F(n−1,k−1)+G(n−k,k)
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形3
  附加条件：盒子内小球数互不相同。
  设 F(n,k) 为方案数。
  F(n,k)=F(n−k,k−1)+F(n−k,k)
  第一项为存在一个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。
• 变形4
  二次幂和问题 POJ 2229
  附加条件：每个盒子内的小球数必须为 2 的幂， (n⩽100,0000)
  F(n)=F(n−1)(nand1=1)
  F(n)=F(n−2)+F(n/2)(nand1=0)
  第一项为存在两个盒子中仅有一个小球的方案数，第二项为每个盒子中都有两个及以上小球的方案数。

小结：还是考虑是否存在 1 的问题，可以结合柱状图进行分析，推导时注意不重不漏。

P.S.有类似变形问题欢迎留言补充，有错误请指正谢谢。