浅谈决策单调性在1D1D动态规划中的运用

1D1D动态规划是指状态数为O(n)，每个状态的决策数为O(n)，直接求解的复杂度为O(n^2)的动态规划方程。但这种方程往往都能够通过一些合理的组织和决策优化到O(n log n)甚至O(n)的。
由于博主比较弱所以只分析下面几种情况（其他的等会了有时间再补）

1.斜率优化

很奇怪我最开始接触的竟然是这个效率最高的但适用性最窄的优化
具体来讲，每一个决策可以看做一个二维平面上的点，某两个决策的优劣性可以通过他们之间的斜率得出
并且随着决策的不断进行，我们所用来比较的斜率也是单调变化的
这样我们就可以把决策点做成一个凸包，用单调队列维护就可以了

2.CDQ分治

既然我们已经知道了决策时单调的，如果我们一个决定决策的复杂度不高，并且不依赖于其他的决策，那么我们可以分治进行。
具体来说，我们每次暴力找出mid处的决策点，然后分治左右区间进行，这样就减少了每次决策的复杂度。
但这种做法的适用性也不高，如果你一个决策的决定依赖于其他决策，那么就GG了。

3.决策单调性

终于讲到我主要想讲的东西了
假入我们只知道最简单的一个性质，就是决策单调性，那么我们要怎么做？
我们先来看一个实例：
最开始我们已经确定了1号点的状态，那么全局的决策就变成了：
11111111111111（这里的每个数字表示每个点的决策点）
那么我们就可以得出2号点的状态，接着它对全局的影响：
11111111222222
接下来3号点的状态我们也可以得出，假如它对全局的影响是
11111111222222
33333333333
我们可以发现，最终我们的全局决策会变为：
11133333333333
就是决策2已经没有用了！
那么我们的做法也就出来了，维护一个队列，维护当前的每一个决策，相邻的两个决策所能控制的区间相接。
那么我们从队尾往前依次比较每一个决策点，如果当前决策在全局看来都比队尾决策优，那么队尾决策就是没有用的，出队。
否则我们就要二分一个转折点，表示从这个转折点开始，新决策比队尾决策优，然后将新决策入队。
这样我们就做到O(n log n)来维护每一个决策点对于全局的影响。
注意如果队头能影响的区间已经决策完了，那么队头出队。