机器学习降维之奇异值分解(SVD)

奇异值分解(Singular Value Decompostion, SVD) 是在机器学习领域广泛应用的算法，不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域，是很多机器学习算法的基石。本篇文章对SVD原理做主要讲解，在学习之前，确保你已经熟悉线性代数中的基本知识，包括特征值、特征向量、相似矩阵相关知识点。如果不太熟悉的话，推荐阅读如下两篇文章，如何理解矩阵特征值？知乎马同学的回答和如何理解相似矩阵？马同学高等数学，读完之后再看本篇文章会有很大帮助。

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义，如下所示。其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。但是求出特征值和特征向量有什么好处呢?
$$Ax=\lambda x$$
求出了矩阵A的n个特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$，以及这n个特征值所对应的特征向量$w_1,w_2,...,w_n$，如果这n个特征值线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示
$$A=W\Sigma W^{-1}$$
其中Σ是以这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵，W是这n个特征向量所组成的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足$||w_i|{|}_2=1$，或者说$w_i^T{w}_i=1$，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{-1}$，也就是说W为酉矩阵。这样我们的特征分解便可写作
$$A=W\Sigma W^T$$
上面矩阵能够进行特征分解，需要满足矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以进行矩阵分解吗？

2. 奇异值分解(SVD)

当矩阵A不是方阵时，可以用奇异值进行分解，假设我们的的矩阵A时一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为
$$A=U\Sigma V^T$$
其中U时一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V时一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足
$$\begin{gathered} U^{T}U=I \\ {V}^{T}V=I \end{gathered}$$
下图可以形象的表示出上述SVD的定义，但我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$
这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的n个特征值和对应的n个特征向量v。将$A^{T}A$的所有特征向量组成一个n×n的矩阵V，就是SVD公式里面的V矩阵，一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

同样，如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵$A{A}^T$。因为$A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式
$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
这样我们就可以得到矩阵$A{A}^T$的m个特征值和对应的m个特征向量u。将$A{A}^T$的所有特征向量组成一个m×m的矩阵U，就是SVD公式里面的U矩阵，一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V都已经求出，现在只有奇异值矩阵Σ没有求出。由于Σ除了对角线上是奇异值，其他位置都是0，因此我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。我们注意到
$$\begin{gathered} A=U\Sigma V^T \\ AV=U\Sigma V^{T}V \\ AV=U\Sigma \\ A{v}_i=u_i{\sigma }_i \\ {\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i} \end{gathered}$$
通过上式，我们便可以求出每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有细讲，就是我们说$A^{T}A$的特征向量组成的就是SVD中的V矩阵，$A{A}^T$的特征向量就是SVD的U矩阵，为什么呢？下面我们做简短证明。
$$\begin{gathered} A=U\Sigma V^T \\ {A}^T=V{\Sigma }^T{U}^T \\ {A}^{T}A=V{\Sigma }^T{U}^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T \end{gathered}$$
上式证明中使用到$U^{T}U=I,{\Sigma }^T\Sigma ={\Sigma }^2$，可以看出$A^{T}A$的特征向量，的确就是SVD中的V矩阵。类似的方法同样可以得到$A{A}^T$的特征向量，就是SVD中的U矩阵。进一步我们还可以看出特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是特征值和奇异值满足如下关系
$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$
这也就是说，我们不仅可以通过用${\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$来计算奇异值，也可以通过求出$A^{T}A$的特征值，然后取平方根得到奇异值。

3. SVD示例

下面我们通过一个简单例子来说明矩阵式如何进行奇异值分解的，假设矩阵A为
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
然后求出$A^{T}A$和$A{A}^T$
$$A^{T}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$$A{A}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

进而求出$A^{T}A$的特征值和特征向量
$${\lambda }_1=3;v_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

$${\lambda }_2=1;v_2=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

求出$A{A}^T$的特征值和特征向量
$${\lambda }_1=3;u_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$$

$${\lambda }_2=1;u_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

$${\lambda }_3=0;u_3=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$$

利用$A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求解奇异值
$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)={\sigma }_1\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_1=\sqrt{3}$$

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)={\sigma }_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\Rightarrow {\sigma }_2=1$$

当然，我们也可以利用${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇异值$\sqrt{3}$和1。最终得到A的奇异值分解为
$$A=U\Sigma V^T=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

4. SVD性质

对于SVD有哪些重要的性质值得我们注意呢? 对于奇异值，它跟特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们可以用最大的k个奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，即
$$A_{m\ast n}=U_{m\ast m}{\Sigma }_{m\ast n}{V}_{n\ast n}^T\approx U_{m\ast k}{\Sigma }_{k\ast k}{V}_{k\ast n}^T$$
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$U_{m\ast k},{\Sigma }_{k\ast k},V_{k\ast n}^T$来表示。如下图所示，现在矩阵A只需要灰色部分的三个小矩阵就可以近似描述。

由于这个重要的性质，因此SVD可以用于PCA降维，用来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP之中的算法，比如潜在语义索引(LSI)。

5. SVD在PCA之中的应用

在机器学习降维之主成分分析(PCA)之中，我们讲到PCA降维时，需要找到样本协方差矩阵$X^{T}X$最大的d个特征向量，然后用着最大的d个特征向量组成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^{T}X$，当样本数多、样本特征数也多的时候，比如10000*10000的矩阵，这个计算量是很大的。

注意到SVD也可以求出协方差矩阵$X^{T}X$最大的d个特征向量组成的矩阵，但是SVD有个好处，就是可以不求出协方差矩阵$X^{T}X$，也能通过某些算法求出右奇异矩阵$V$，比如https://arxiv.org/abs/0909.4061。也就是说，PCA算法可以不用做特征分解，而是用SVD来进行完成。

另一方面，PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？假如我们的样本是m×n的矩阵X，如果通过SVD找到矩阵$X{X}^T$最大的d个特征向量组成的m×d的矩阵U，则我们进行如下处理
$$X_{d\ast n}^{\prime }=U_{d\ast m}^T{X}_{m\ast n}$$
可以得到一个d×n的矩阵X’，这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩，右奇异矩阵可以用于列数压缩，即特征降维。

6. SVD算法总结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，不过这不影响它的使用。

7. 推广

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参考

刘建平Pinard-奇异值分解(SVD)原理转载降维中的应用